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1、【2019最新】精选高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4-7解三角形的综合应用教师用书理新人教1仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图)2方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等3方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)【知识拓展】1三角形的面积公式：S (p)，Srp(R为三角形外接圆半径，r为三角形内切圆半径，p)2坡度(又称坡比)：坡面的垂直高度与水平长度之比【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)从A处望B处的仰角为，从B
2、处望A处的俯角为，则，的关系为180.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系()(4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是0，)()1(教材改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为()A50 m B50 mC25 m D. m答案A解析由正弦定理得，又B30，AB50(m)2若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15 B北
3、偏西15C北偏东10 D北偏西10答案B解析如图所示，ACB90，又ACBC，CBA45，而30，90453015，点A在点B的北偏西15.3(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB10 n mile，从A望C和B成60视角，从B望C和A成75视角，则BC等于()A10 n mile B. n mileC5 n mile D5 n mile答案D解析如图，在ABC中，AB10，A60，B75，BC5.4.如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DCa，从C，D两点测得A点的仰角分别为60，30，则A点离地面的高度AB_.答案a解析由已知得DAC30，ADC为等腰三角形，ADa，又在Rt
4、ADB中，ABADa.5在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东_，速度的大小为_ km/h.答案6020解析如图，AOB60，由余弦定理知OC2202202800cos 1201 200，故OC20，COY303060.题型一求距离、高度问题例1(1)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高AD是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1) m B180(1) mC1
5、20(1) m D30(1) m(2)(2016三明模拟)在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30，60，则塔高是_ m.答案(1)C(2)解析(1)如图，在ACD中，CAD903060，AD60 m，所以CDADtan 6060(m)在ABD中，BAD907515，所以BDADtan 1560(2)(m)所以BCCDBD6060(2)120(1) (m)(2)如图，设塔AB高为h，在RtCDB中，CD200 m，BCD906030，BC(m)在ABC中，ABCBCD30，ACB603030，BAC120.在ABC中，由正弦定理得，AB(m)思维升华求距离、高度问题应注意(
6、1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理(1)一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为_ km.(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为_m.答案(1)30(2)
7、3030解析(1)如图，由题意，BAC30，ACB105，B45，AC60 km，由正弦定理，BC30 km.(2)在PAB中，PAB30，APB15，AB60，sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30，由正弦定理得，PB30()，树的高度为PBsin 4530()(3030)(m)题型二求角度问题例2如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos 的值为_答案解析在ABC中，AB40，AC20
8、，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，则cosACB.由ACB30，得cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.思维升华解决测量角度问题的注意事项：(1)首先应明确方位角或方向角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练已知点A到墙面的距离为AB，
9、某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小若AB15 m，AC25 m，BCM30，则tan 的最大值是_(仰角为直线AP与平面ABC所成角)答案解析如图，过点P作POBC于点O，连接AO，则PAO.设COx m，则OPx m.在RtABC中，AB15 m，AC25 m，所以BC20 m.所以cosBCA.所以AO(m)所以tan .当，即x时，tan 取得最大值为.题型三三角形与三角函数的综合问题例3(2016长春质检)已知函数f(x)2sin xcos x2cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调减区间；(2)已知ABC的三个内角
10、A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a7，若锐角A满足f()，且sin Bsin C，求bc的值解(1)f(x)2sin xcos x2cos2xsin 2xcos 2x2sin(2x)，因此f(x)的最小正周期为T.由2k2x2k(kZ)得kxk，kZ，即f(x)的单调递减区间为k，k(kZ)(2)由f()2sin2()2sin A，又A为锐角，则A，由正弦定理可得2R，sin Bsin C，则bc13，由余弦定理可知，cos A，可求得bc40.思维升华三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题设f
11、(x)sin xcos xcos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f0，a1，求ABC面积的最大值解(1)由题意知f(x)sin 2x.由2k2x2k，kZ, 可得kxk，kZ；由2k2x2k，kZ, 可得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间是(kZ)；单调递减区间是(kZ)(2)由fsin A0，得sin A，由题意知A为锐角，所以cos A.由余弦定理a2b2c22bccos A，可得1bcb2c22bc，即bc2，当且仅当bc时等号成立因此bcsin A.所以ABC面积的最大值为.10函数思想在解三角形中的应用典例(12分)某
12、港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由思想方法指导已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题
13、解决规范解答解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则1分S .3分故当t时，Smin10，v30.即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小6分(2)设小艇与轮船在B处相遇则v2t2400900t222030tcos(9030)，8分故v2900.0v30，900900，即0，解得t.又t时，v30，故v30时，t取得最小值，且最小值等于.此时，在OAB中，有OAOBAB20.11分故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时12分1一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10 海里 B10 海里
