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1、【2019最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-7双曲线试题理北师大1双曲线定义平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距其中a，c为常数且a0，c0.(1)当2a|F1F2|时，P点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫
2、作双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为t(t0)(2)过已知两个点的双曲线方程可设为1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)()1(教材改编)
3、若双曲线1 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A. B5C. D2答案A解析由题意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.e25，e.2等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A，B两点，|AB|4，则C的实轴长为()A. B2 C4 D8答案C解析设C：1.抛物线y216x的准线为x4，联立1和x4，得A(4，)，B(4，)，|AB|24，a2，2a4.C的实轴长为4.3(2015安徽)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是()Ax21 B.y21C.x21 Dy21答案C解析由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴
4、上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为yx，只有C符合，故选C.4(2016江苏)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1的焦距是_答案2解析由已知，a27，b23，则c27310，故焦距为2c2.5双曲线y21的顶点到其渐近线的距离等于_答案解析双曲线的一个顶点坐标为(2,0)，一条渐近线方程是yx，即x2y0，则顶点到渐近线的距离d.题型一双曲线的定义及标准方程命题点1利用定义求轨迹方程例1已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_答案x21(x1)解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B
5、.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1)命题点2利用待定系数法求双曲线方程例2根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)经过两点P(3,2)和Q(6，7)解(1)设双曲线的标准方程为1
6、或1(a0，b0)由题意知，2b12，e.b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.(2)双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0)解得双曲线的标准方程为1.命题点3利用定义解决焦点三角形问题例3已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左，右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cos F1PF2_.答案解析由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|4，则cosF1PF2.引申探究1本例中将条件“|PF1|2
7、|PF2|”改为“F1PF260”，则F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF2，所以|PF1|PF2|8，所以|PF1|PF2|sin 602.2本例中将条件“|PF1|2|PF2|”改为“0”，则F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，由于0，所以，所以在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|216，所以|PF1|PF2|4，所以|PF1|PF2|2.思维升华(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，
8、进而根据要求可求出双曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|PF2|的联系(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为(0)，再由条件求出的值即可(1)已知F1，F2为双曲线1的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|AF2|的最小值为()A.4 B.4C.2 D.2(2)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b
9、0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.3答案(1)C(2)B解析(1)由题意知，|AP|AF2|AP|AF1|2a，要求|AP|AF2|的最小值，只需求|AP|AF1|的最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值，则|AP|AF1|PF1|，|AP|AF2|的最小值为|AP|AF1|2a2.故选C.(2)不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|r1，|PF2|r2.根据双曲线的定义，得r1r22a，又r1r23b，故r1，r2.又r1r2ab，所以ab，解得(负值舍去)，故e，故选B.题型二双曲线的几
10、何性质例4(1)(2016浙江)已知椭圆C1：y21(m1)与双曲线C2：y21(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()Amn且e1e21 Bmn且e1e21Cmn且e1e21 Dmn且e1e21(2)(2015山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为_答案(1)A(2)解析(1)由题意可得m21n21，即m2n22，又m0，n0，故mn.又ee11，e1e21.(2)由题意，不妨设直线OA的方程为yx，直线OB的方程为yx.由得x22p x，x，y，
11、A.设抛物线C2的焦点为F，则F，kAF.OAB的垂心为F，AFOB，kAFkOB1，1，.设C1的离心率为e，则e21.e. 思维升华双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线1(a0，b0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k满足关系式e21k2.(2016全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A. B. C. D2答案A解析离心率e，由正弦定理得e.故选A.题型三直线与双曲线的综合问题例5(2016兰州模拟)已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左，右焦点分别是C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且2(其中O为原点)，求k的取值范围解(1)设双曲线C2的方程为1(a0，b0)，则a2413，c24，再由a2b2c2，得b21.故C2的方程为y21.(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得k2且k22，得x1x2y1y22，2，即0，解得k23，由得k20)的离心
