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1、第六节解三角形2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。2016，全国卷，17,12分(正、余弦定理，三角形面积)2016，全国卷，13,5分(解三角形)2016，全国卷，8,5分(解三角形)2015，全国卷，16,5分(解三角形，取值范围)2015，全国卷，17,12分(解三角形，三角形面积，恒等变换)2014，全国卷，16,5分(解三角形，三角形面积，最值)命题形式多种多样，选择题、填空题常常出一些简单的边、角、面积计算或测量问题，属于容易题，解
2、答题常常结合三角恒等变换公式、三角函数的图象和性质进行考查，具有一定的综合性，属于中档题。微知识小题练自|主|排|查1正弦定理2R其中2R为ABC外接圆直径。变式：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC。abcsinAsinBsinC。2余弦定理a2b2c22bccosA；b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC。变式：cosA；cosB；cosC。sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA。3解三角形(1)已知三边a，b，c。运用余弦定理可求三角A，B，C。(2)已知两边a，b及夹角C。运用余弦定理可求第三边c。(3)已知两边a，b及一边对角A。先用正弦定
3、理，求sinB，sinB。A为锐角时，若absinA，无解；若absinA，一解；若bsinAab，一解。(4)已知一边a及两角A，B(或B，C)用正弦定理，先求出一边，后求另一边。4三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示a边上的高)。(2)SabsinCacsinBbcsinA。(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)。微点提醒1在一个三角形中，边和角共有6个量，已知三个量(其中至少有一边)就可解三角形。2判断三角形形状的两种思路：一是化边为角；二是化角为边，并用正弦定理(余弦定理)实施边、角转换。3当a2b2c2时判断三角形的形状，由cosC0，得C为钝角，则三角形为钝角三角形。小|题|
4、快|练一 、走进教材1(必修5P10A组T4改编)在ABC中，AB5，AC3，BC7，则BAC()A. B.C. D.【解析】因为在ABC中，设ABc5，ACb3，BCa7，所以由余弦定理得cosBAC，因为BAC为ABC的内角，所以BAC。故选C。【答案】C2(必修5P10B组T2改编)在ABC中，如果有性质acosAbcosB，那么这个三角形的形状是()A直角三角形B等腰三角形C直角三角形或等腰三角形D不确定【解析】由已知及正弦定理得sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC是等腰三角形或直角三角形。故选C。【答案】C3(必修5
5、P20A组T11改编)在ABC中，A，AB2，且ABC的面积为，则边BC的长为_。【解析】因为SABACsinA2ACsin，所以AC1。由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcosA，即BC22212221，解得BC。【答案】二、双基查验1(2016天津高考)在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC()A1 B2C3 D4【解析】设ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c则a3，c，C120，由余弦定理得139b23b，解得b1，即AC1。故选A。【答案】A2在ABC中，a，b1，c2，则A等于()A30 B45C60 D75【解析】cosA，又0A180，A60。故选C。【答案
6、】C3在ABC中，若a18，b24，A45，则此三角形有()A无解 B两解C一解 D解的个数不确定【解析】，sinBsinAsin45，sinB，又ab，B有两个解。故选B。【答案】B4ABC中，B120，AC7，AB5，则ABC的面积为_。【解析】设BCx，由余弦定理得4925x210xcos120，整理得x25x240，即x3。因此SABCABBCsin B35。【答案】5一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上。继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60，另一灯塔在船的南偏东75，则这艘船每小时航行_海里。【解析】如图，由题意知在ABC中，ACB756015，
7、B15，ACAB8。在RtAOC中，OCACsin 304。这艘船每小时航行8(海里)。【答案】8第一课时正弦定理和余弦定理微考点大课堂考点一 利用正、余弦定理解三角形【典例1】(1)(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA，cosC，a1，则b_。(2)(2016全国卷)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cosA()A.B.C D【解析】(1)因为cosA，cosC，所以sinA，sinC，从而sinBsin(AC)sinAcosCcosAcosC。由正弦定理，得b。(2)设ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得acsinc，则ac。在
8、ABC中，由余弦定理可得b2a2c2acc2c23c2c2，则bc。由余弦定理，可得cosA。故选C。【答案】(1)(2)C反思归纳1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形，正弦定理的形式多样，其中a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC能够实现边角互化。2已知两边和它们的夹角或已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形，在运用余弦定理时，要注意整体思想的运用。【变式训练】(2016山东高考)ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c。已知bc，a22b2(1sinA)。则A()A. B.C. D.【解析】由余弦定理得a2b2c22bccosA2b
9、22b2cosA，所以2b2(1sinA)2b2(1cosA)，所以sinAcosA，即tanA1，又0A，所以A。故选C。【答案】C考点二 判断三角形形状母题发散【典例2】设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosCccosBasinA，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定【解析】依据题设由正弦定理，得sinBcosCcosBsinCsin2A，有sin(BC)sin2A，从而sin(BC)sinAsin2A，解得sinA1，A。故选B。【答案】B【母题变式】1.若将本典例条件改为“2sinAcosBsinC”，试判断ABC的形状。【解析】解
10、法一：由已知得2sinAcosBsinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，即sin(AB)0，因为AB，所以AB，故ABC为等腰三角形。解法二：由正弦定理得2acosBc，再由余弦定理得2aca2b2ab，故ABC为等腰三角形。【答案】等腰三角形2若将本典例条件改为“(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)”，试判断三角形的形状。【解析】(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2sinAcosBb22cosAsinBa2，即a2cosAsinBb2sinAcosB。解法一：由正弦定理知a2
11、RsinA，b2RsinB，sin2AcosAsinBsin2BsinAcosB，又sinAsinB0，sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B。在ABC中，02A2，02B2，2A2B或2A2B，AB或AB。ABC为等腰三角形或直角三角形。解法二：由正弦定理、余弦定理得：a2bb2a，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(a2b2c2)0，a2b20或a2b2c20。即ab或a2b2c2。ABC为等腰三角形或直角三角形。【答案】等腰三角形或直角三角形3若将本典例条件改为：“2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC，且sinBsinC1”，试判断ABC的
12、形状。【解析】由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc，cosA，sinA，则sin2Asin2Bsin2CsinBsinC。又sinBsinC1，所以sinBsinC，解得sinBsinC。因为0B，0C，故BC，所以ABC是等腰钝角三角形。【答案】等腰钝角三角形反思归纳1.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别。2判断三角形形状主要有以下两种途径：(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之
13、间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断。考点三 与三角形面积有关的问题【典例3】(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosBbcosA)c。(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长。【解析】(1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosBsinBcosA)sinC，2cosCsin(AB)sinC，故2sinCcosCsinC。又因为C为ABC的内角，可得cosC，所以C。(2)由已知，absinC。又C，所以ab6。由已知及余弦定理得，a2b22abcosC7，故a2b213，从而(ab)225。所以ABC的周长为5。【答案】(1)(2)5反思归纳与三角形面积有关问题的解题策略(1)求三角形的面积。对
