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1、第七节数学归纳法2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。全国卷，无2015江苏，23,10分(数学归纳法)2014，安徽，21,13分(数学归纳法)2014，陕西，21,14分(数学归纳法)数学归纳法在近年的全国卷高考中还未出现过，只是在个别的自主命题的省份有所考查。由此可见数学归纳法不是高考的热点内容，我们做一般地认识就可以了，不必搞得过深过难。微知识小题练自|主|排|查数学归纳法的定义及框图表示(1)定义：证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立，这一步是归纳奠基。假
2、设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立，这一步是归纳递推。完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。(2)框图表示：微点提醒1数学归纳法证题时，不要误把第一个值n0认为是1，如证明多边形内角和定理(n2)时，初始值n03。2数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：(1)必须利用归纳假设作基础。(2)证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法。(3)解题时要搞清从nk到nk1增加了哪些项或减少了哪些项。小|题|快|练一 、走进教材1(选修22P96B组T1改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n等于()A1 B2C3
3、D4【解析】三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n3。【答案】C2(选修22P94例1改编)用数学归纳法证明123n2，则当nk1时，左端应在nk的基础上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k1)2【解析】当nk时，左端123k2。当nk1时，左端123k2(k21)(k22)(k1)2，故当nk1时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k1)2。故选D。【答案】D二、双基查验1用数学归纳法证明1aa2an1(a1，nN*)，在验证n1时，等式左边的项是()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3【答案】C2用数学归纳法证明不等式1(nN*)成立，其初始值至少
4、应取()A7 B8C9 D10【解析】左边12，代入验证可知n的最小值是8。故选B。【答案】B3已知f(n)，则()Af(n)中共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)Cf(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)Df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)【答案】D4设Sn1，则Sn1Sn_。【解析】Sn11，Sn1，Sn1Sn。【答案】5已知an满足an1anan1，nN*，且a12，则a2_，a3_，a4_，猜想an_。【答案】345n1考点例析微考点大课堂 对点微练考点一 用数学归纳法证明等式【典例1】求证：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1
5、)(nN*)。【证明】当n1时，左边12223，右边3，等式成立。假设nk(k1，kN*)时，等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)。当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1时，等式也成立。由得，等式对任何nN*都成立。反思归纳数学归纳法证明等式的思路和注意点1思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少。2注意点：由nk时等式成立，推出nk1时等式成立，一要找出等式两边
6、的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法。【变式训练】设f(n)1(nN*)。求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)。【证明】(1)当n2时，左边f(1)1，右边21，左边右边，等式成立。(2)假设nk(k2，kN*)时，结论成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，当nk1时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，当nk1时结论仍然成立。由(1)(2)可知，f(1)f(2)f(n1)nf
7、(n)1(n2，nN*)。考点二 用数学归纳法证明不等式【典例2】已知数列an，an0，a10，aan11a，求证：当nN*时，anan1。【证明】(1)当n1时，因为a2是方程aa210的正根，所以a1a2。(2)假设当nk(kN*)时，0akak1，则由aa(aak21)(aak11)(ak2ak1)(ak2ak11)0，得ak1ak2，即当nk1时，anan1也成立。根据(1)和(2)，可知anan1对任何nN*都成立。反思归纳1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法。2用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归
8、纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明。【变式训练】用数学归纳法证明：11n (nN*)。【证明】(1)当n1时，左边1，右边1，1，即命题成立。(2)假设当nk (kN*)时命题成立，即11k，则当nk1时，112k1。又12n1，n的第一个取值应是()A1B2C3D4解析n1时，212,2113,2n2n1不成立；n2时，224,2215,2n2n1不成立；n3时，238,2317,2n2n1成立。n的第一个取值应是3。故选C。答案C2用数学归纳法证明“11)不等式成立，推证nk1时不等式成立，左边应增加的项数为()Ak Bk1 C2k D2k1解析当nk时，不等
9、式左侧是1，分母各项依次增加1，故当nk1时，不等式左侧变为1，左边应增加的项数为(2k11)(2k1)2k12k2k，故选C。答案C3(2016承德月考)已知n为正偶数，用数学归纳法证明12时，若已假设nk(k2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()Ank1时等式成立Bnk2时等式成立Cn2k2时等式成立Dn2(k2)时等式成立解析k为偶数，则k2为下一个偶数，故选B。答案B4(2017潍坊模拟)某个命题与正整数有关，若当nk(kN*)时该命题成立，那么可推得当nk1时该命题也成立，现已知当n4时该命题不成立，那么可推得()A当n5时，该命题不成立B当n5时，该命题成立C当n3时，该命题成立D当n3
