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1、第八节离散型随机变量的均值与方差2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。2016，全国卷，19,12分(随机变量的分布列、均值)2016，山东卷，19,12分(随机变量的分布列、均值)2015，安徽卷，17,12分(条件概率、分布列、均值)2014，陕西卷，19,12分(二项分布)1.主要考查离散型随机变量的数学期望与方差的求解及应用，常与排列、组合、概率、统计交汇命题；2.题型以解答题为主，要求较高，解题时要求有较强的综合能力以及分析问题、解决问题的能力。微知识小题练自|
2、主|排|查1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值：称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。(2)D(X)(xiE(X)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差。2均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b，(2)D(aXb)a2D(X)(a，b为常数)。3两点分布与二项分布的均值、方差XX服从两点分布XB(n，p)E(X)p(p为成功概率)npD(X)p(1p)np(1p)微点提醒1均值E(
3、X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态。2已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解。若所给随机变量服从两点分布或二项分布等，则可直接利用它们的均值、方差公式求解。3已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数YaXb的均值、方差和标准差，可直接用X的均值、方差的性质求解。小|题|快|练一 、走进教材1(选修23P64练习T2改编)已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)()A. B2C. D3【解析】E(X)123。故选A。【答案】A2(选修23P69B组T1改编)抛掷两枚骰
4、子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为_。【解析】抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为，所以至少有一次出现5点或6点的概率为1，用X表示10次试验中成功的次数，则XB，E(X)10。【答案】二、双基查验1已知X的分布列为X101P设Y2X3，则E(Y)的值为()A. B4C1 D1【解析】E(X)，E(Y)E(2X3)2E(X)33。故选A。【答案】A2(2017洛阳模拟)一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了。设放对个数
5、记为，则的期望的值为()A. B.C1 D2【解析】将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A种不同放法，放对的个数可取的值有0,1,2,4，其中P(0)，P(1)，P(2)，P(4)，E()01241。故选C。【答案】C3某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A100 B200C300 D400【解析】记不发芽的种子数为，则B(1 000，0.1)E()1 0000.1100。又X2，E(X)E(2)，2E()200。故选B。【答案】B4随机变量的取值为0,1,2，若P(0)，E(
6、)1，则D()_。【解析】设1时的概率为p，则E()01p21，解得p，故D()(01)2(11)2(21)2。【答案】5(2016兰州一中模拟)若随机变量B，则D(32)_.【解析】随机变量B，D()5，D(32)9D()10。【答案】10微考点大课堂考点一 与超几何分布有关的均值与方差【典例1】某公司电脑专业技术人员对该公司A，B两个办公室的50台电脑进行报废检查，其中A办公室的电脑占60%，B办公室的电脑占40%，A办公室电脑的报废率为10%，B办公室电脑的报废率为20%。(1)若从这50台电脑中随机抽取1台(每台电脑被抽到的机会相等)，求该电脑是A办公室的且不报废的概率；(2)若从这5
7、0台电脑中随机抽取2台(每台电脑被抽到的机会相等)，记这2台电脑是A办公室的且不报废的台数为，求的分布列与数学期望。【解析】(1)由题意可得，这50台电脑中，A办公室有5060%30台，其中A办公室的电脑不报废的有30(110%)27台，故从这50台电脑中随机抽取1台，该电脑是A办公室的且不报废的概率为。(2)依题意，的所有可能取值为0,1,2，P(0)，P(1)，P(2)。的分布列为012PE()012【答案】(1)(2)见解析反思归纳求离散型随机变量的均值与方差的步骤1理解的意义，写出可能的全部值。2求取每个值的概率。3写出的分布列。4由均值的定义求E()。5由方差的定义求D()。【变式训
8、练】一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共11只，现在盒子上开一小孔，每次只能飞出1只昆虫(假设任意1只昆虫等可能地飞出)。若有2只昆虫先后任意飞出(不考虑顺序)，则飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是。(1)求盒子中蜜蜂有几只。(2)若从盒子中先后任意飞出3只昆虫(不考虑顺序)，记飞出蜜蜂的只数为X，求随机变量X的分布列与数学期望E(X)。【解析】(1)设“2只昆虫先后任意飞出，飞出的是蝴蝶或蜻蜓”为事件A，设盒子中蜜蜂为x只，则由题意，得P(A)，所以(11x)(10x)42，解之得x4或x17(舍去)，故盒子中蜜蜂有4只。(2)由(1)知，盒子中蜜蜂有4只，则X的取值可为0,1,2,3，
9、P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)。故X的分布列为X0123P数学期望E(X)0123。【答案】(1)4只(2)见解析考点二 与相互独立事件有关的均值与方差【典例2】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分。已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响。假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)。【解析】(1
10、)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”。记事件E：“星队至少猜对3个成语”。由题意，EABCDBCDACDABDABC。由事件的独立性与互斥性，得P(E)P(ABCD)P(BCD)P(ACD)P(ABD)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(D)P()P(B)P(C)P(D)P(A)P()P(C)P(D)P(A)P(B)P()P(D)P(A)P(B)P(C)P()2。所以“星队”至少猜对3个成语的概率为。(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6。由事件的独立性与互斥性，得P(X0)，P(X1)2，P(
11、X2)，P(X3)，P(X4)2，P(X6)。可得随机变量X的分布列为X012346P所以数学期望E(X)012346。【答案】(1)(2)见解析反思归纳首先根据条件判断事件是否是相互独立事件，若是相互独立事件，先求出相关分布列，再求出数学期望与方差。【变式训练】(2016沈阳质监)某中学根据20022014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立。2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m、n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为
12、，且mn。(1)求m与n的值；(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加样本选修学分3分。求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望。【解析】(1)依题意得解得(2)设该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X，则X的值可以为0,1,2,3,4,5,6。而P(X0)；P(X1)；P(X2)；P(X3)；P(X4)；P(X5)；P(X6)。X的分布列为：X0123456P于是，E(X)0123456。【答案】(1)mn(2)见解析考点三 与二项分布有关的均值与方差
13、【典例3】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖。(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列、数学期望和方差。【解析】(1)记事件A1从甲箱中摸出的1个球是红球，A2从乙箱中摸出的1个球是红球，B1顾客抽奖1次获一等奖，B2顾客抽奖1次获二等奖，C顾客抽奖1次能获奖。由题意知A1与A2相互独立，A12与1A2互斥，B1与B2互斥，且B1A1A2，B2A121A2，CB1B2。因为P(A1)，P(A2)，所以P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2)，P(B2)P(A121A2)P(A12)P(1A2)
