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1、【2019最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-9圆锥曲线的综合问题第3课时定点定值探索性问题教师用书理苏教题型一定点问题例1(2016镇江模拟)已知椭圆1(a0，b0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足1，2.(1)求椭圆的标准方程；(2)若123，试证明：直线l过定点并求此定点(1)解设椭圆的焦距为2c，由题意知b1，且(2a)2(2b)22(2c)2，又a2b2c2，a23.椭圆的方程为y21.(2)证明由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，
2、y2)，设l方程为xt(ym)，由1知(x1，y1m)1(x0x1，y1)，y1my11，由题意y10，11.同理由2知21.123，y1y2m(y1y2)0，联立得(t23)y22mt2yt2m230，由题意知4m2t44(t23)(t2m23)0，且有y1y2，y1y2，将代入得t2m232m2t20，(mt)21，由题意mtb0)，焦点F(c,0)，因为，将点B(c，)的坐标代入方程得1.由结合a2b2c2，得a，b1.故所求椭圆方程为y21.(2)由得(2t2)y22ty220.因为l为切线，所以(2t)24(t22)(22)0，即t2220.设圆与x轴的交点为T(x0,0)，则(x0
3、，y1)，(x0，y2)因为MN为圆的直径，故x2y1y20.当t0时，不符合题意，故t0.因为y1，y2，所以y1y2，代入结合得，要使上式为零，当且仅当x1，解得x01.所以T为定点，故动圆过x轴上的定点(1,0)与(1,0)，即椭圆的两个焦点题型二定值问题例2如图，已知椭圆C：1，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A(点A在x轴下方)，且线段AB的中点E在直线yx上(1)求直线AB的方程；(2)若点P为椭圆C上异于A，B的动点，且直线AP，BP分别交直线yx于点M，N，证明：OMON为定值(1)解由已知得B(0，2)设E(，)，则A(2，22)把A的坐标代入椭圆方程，得(1)2
4、1，即220.则(0舍去)，得A(3，1)由kAB，得直线AB的方程为yx2，即x3y60.(2)证明设M(m，m)，N(n，n)，P(x0，y0)，则x3y12.由A，P，M共线，即，得(x03)(m1)(y01)(m3)，则m.由B，P，N共线，即，得x0(n2)(y02)n，则n.所以mn3.从而OMON|m|n|6为定值思维升华圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值(2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得(3)求某线段长度为定值利用长度公式
5、求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得 (2016扬州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，点F(，0)，直线l：x，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQFP，PQl.(1)求动点Q的轨迹C的方程；(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长TS是否为定值？请说明理由解(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQFP，RQ是线段FP的垂直平分线点Q在线段FP的垂直平分线上，PQQF，又PQ是点Q到直线l的距离，故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y22x(x0)(2)弦长TS为定值理由如下：取曲线C上
6、点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d|x0|x0，圆的半径rMA，则TS22，点M在曲线C上，x0，TS22是定值题型三探索性问题例3 (2015四川)如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且1.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)，又点P的坐标为(0,1)，且1，于是解得a2，b，所以椭圆E的方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y
7、2)联立得(2k21)x24kx20，其判别式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2，从而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以当1时，23，此时3为定值当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时，213.故存在常数1，使得为定值3.思维升华解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法
8、(2016苏锡常镇四市调研)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1 (ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，右顶点，上顶点分别为A，B，原点O到直线AB的距离等于ab.(1)若椭圆C的离心率等于，求椭圆C的方程；(2)若过点(0,1)的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限，直线PF2交y轴于点Q.试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系，并说明理由解(1)由题意，得点A(a,0)，B(0，b)，直线AB的方程为1，即bxayab0.由题设，得ab，化简得a2b21.e，即a23b2.由，解得椭圆C的方程为4y21.(2)点F1在以PQ为直径的圆上由题设，直线l与椭圆相切且l的斜率
9、存在，设直线l的方程为ykx1，由得(b2a2k2)x22ka2xa2a2b20，(*)则(2ka2)24(b2a2k2)(a2a2b2)0，化简得1b2a2k20，k21，点P在第二象限，k1.把k1代入方程(*)，得x22a2xa40，解得xa2，从而yb2，P(a2，b2)从而直线PF2的方程为yb2(xa2)，令x0，得y，Q(0，)从而(a2c，b2)，(c，)，又a2b21，a2b2c2，从而c(a2c)0，0.点F1在以PQ为直径的圆上23设而不求，整体代换典例(16分)椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
10、(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连结PF1，PF2，设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k20，证明为定值，并求出这个定值思想方法指导对题目涉及的变量巧妙地引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值规范解答解(1)由于c2a2b2，将xc代入椭圆方程1，得y
11、.由题意知1，即a2b2.又e，所以a2，b1.所以椭圆C的方程为y21.4分(2)设P(x0，y0)(y00)，又F1(，0)，F2(，0)，所以直线PF1，PF2的方程分别为：y0x(x0)yy00，：y0x(x0)yy00.由题意知 .由于点P在椭圆上，所以y1.所以.8分因为m，2x02，可得，所以mx0，因此mb0)的离心率为，且过点A(0,1)(1)求椭圆的标准方程；(2)过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点求证：直线MN恒过定点P(0，)(1)解由题意知，e，b1，所以a2c21，解得a2，所以椭圆的标准方程为y21.(2)证明设直线l1的方程为ykx1.联立方程组得(4k21)x28kx0，解得x1，x20，所以xM，yM.同理可得xN，yN.则kMP，kNP，所以kMPkNP，故直线MN恒过定点P(0，)2(2016云南师范大学附属中学月考)已知椭圆C的焦点在x轴上，离心率等于，且过点(1，)(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，若1，2，求证：12为定值(1)解设椭圆C的方
