《最新高考数学大一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第三节平面向量的数量积与平面向量的应用举例教师用书理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新高考数学大一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第三节平面向量的数量积与平面向量的应用举例教师用书理（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节平面向量的数量积与平面向量的应用举例2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。2016，全国卷，13,5分(向量的几何意义)2016，全国卷，3,5分(向量数量积的坐标运算)2016，全国卷，3,5分(向量夹角问题)2016，天津卷，7,5分(向量的数量积和线性运算)2015，全
2、国卷，15,5分(向量的数量积运算)高考对本节内容的考查以向量的长度、夹角及数量积为主，以向量数量积的运算为载体，综合三角函数、解析几何等知识进行考查，是一种新的趋势，复习时应予以关注。以客观题为主，有时出现在解答题中。分值512分。微知识小题练自|主|排|查1平面向量的数量积(1)向量的夹角定义：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是向量a与b的夹角。范围：设是向量a与b的夹角，则0180。共线与垂直：若0，则a与b同向共线；若180，则a与b反向共线；若90，则a与b垂直。(2)平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos叫做a与b的数量积(或
3、内积)，记作ab，即ab|a|b|cos，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0。几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积。2平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角。数量积：ab|a|b|cosx1x2y1y2。模：|a|。夹角：cos。两非零向量ab的充要条件：ab0x1x2y1y20。|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2| 。3平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律)。(2)ab(ab)a(b)(结合律)。(3)(ab)cacbc(分配律)。微点提醒1a在b方向上的
4、投影与b在a方向上的投影不是一个概念，要加以区别。2对于两个非零向量a与b，由于当0时，ab0，所以ab0是两个向量a，b夹角为锐角的必要而不充分条件；ab0也不能推出a0或b0，因为ab0时，有可能ab。3在实数运算中，若a，bR，则|ab|a|b|；若abac(a0)，则bc。但对于向量a，b却有|ab|a|b|；若abac(a0)，则bc不一定成立，原因是ab|a|b|cos，当cos0时，b与c不一定相等。4向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线。小|题|快|练
5、一 、走进教材1(必修4P107例6改编)已知|a|2，|b|4，ab4，则a与b的夹角_。【解析】因为ab|a|b|cos，所以cos，又因为0180，故30。【答案】302(必修4P105例4改编)已知a(1,2)，b(3,4)，若akb与akb互相垂直，则实数k_。【解析】由已知a(1,2)，b(3,4)，若互相垂直，则(akb)(akb)0，即a2k2b20，即525k20，即k2，所以k。【答案】二、双基查验1下列四个命题中真命题的个数为()若ab0，则ab；若abbc，且b0，则ac；(ab)ca(bc)；(ab)2a2b2。A4个B2个C0个D3个【解析】ab0时，ab，或a0，
6、或b0。故命题错。abbc，b(ac)0。又b0，ac，或b(ac)。故命题错误。ab与bc都是实数，故(ab)c是与c共线的向量，a(bc)是与a共线的向量，(ab)c不一定与a(bc)相等。故命题不正确。(ab)2(|a|b|cos)2|a|2|b|2cos2|a|2|b|2a2b2。故命题不正确。故选C。【答案】C2在ABC中，AB3，AC2，BC，则()A B C. D.【解析】在ABC中，cosBAC，|cosBAC32。故选D。【答案】D3已知平面向量a(1，3)，b(4，2)，ab与a垂直，则()A1 B1 C2 D2【解析】ab(4，32)。ab与a垂直，(ab)a10100。
7、1。故选A。【答案】A4已知单位向量e1，e2的夹角为，且cos，若向量a3e12e2，则|a|_。【解析】|a|2aa(3e12e2)(3e12e2)9|e1|212e1e24|e2|29121149|a|3。【答案】35(2016大连模拟)若a，b满足|a|，a(ab)1，|b|1，则a，b的夹角为_。【解析】因为|a|，所以a(ab)a2ab2ab1，即ab1。设a，b的夹角为，则cos。因为0，所以。【答案】第一课时平面向量的数量积微考点大课堂考点一 平面向量数量积运算【典例1】(1)已知a(2,3)，b(4,7)，则a在b上的投影为()A.B.C.D.(2)(2016天津高考)已知A
8、BC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为()A B. C. D.【解析】(1)|a|cos。故选C。(2)如图，设m，n。根据已知得，m，所以mn，mn，(mn)m2n2mn。故选B。【答案】(1)C(2)B反思归纳1.当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cos。2当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2。【变式训练】(1)设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4。若点M，N满足3，2，则()A20 B15 C9 D6(2)(2016蚌埠模拟)已
9、知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点。的最大值为_。【解析】(1)在平行四边形ABCD内，易得，所以36161239。故选C。(2)如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设E(t,0)，0t1，则D(0,1)，C(1,1)，(t，1)，(1,0)，所以t1。【答案】(1)C(2)1考点二 平面向量的模与夹角问题【典例2】(1)(2017长沙模拟)已知向量a(1,2)，ab5，|ab|2，则|b|等于()A. B2 C5 D25(2)(2016东北三校联考)已知向量a，b的夹角为60，且|a|2，|b|1，则向量a与向量a2b的夹角等于()A150 B90C6
10、0 D30【解析】(1)由a(1,2)，可得a2|a|212225。因为|ab|2，所以a22abb220，所以525b220，所以b225，所以|b|5。故选C。(2)解法一：由于a(a2b)a22ab|a|22|a|b|cos604226，|a2b|2，所以cosa，a2b，所以a，a2b30。故选D。解法二：|a2b|2444ab88cos6012，|a2b|2，a(a2b)|a|a2b|cos22cos4cos。又a(a2b)a22ab44cos606，4cos6，cos，0，180，30。故选D。【答案】(1)C(2)D反思归纳1.平面向量夹角的求法若a，b为非零向量，则由平面向量的
11、数量积公式得cos(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题。2平面向量的模的解题方法(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用|a|。(2)若向量a，b是非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2a2aa，或|ab|2(ab)2a22abb2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解。【变式训练】(1)(2016全国卷)已知向量，则ABC()A30 B45 C60 D120(2)(2016衡水中学二调)已知单位向量a，b，若ab0，且|ca|c2b|，则|c2a|的取值范围是()A1,3 B2，3C. D.【解析】(1)由两向量的夹角公式，可得cos
12、ABC，则ABC30。故选A。(2)不妨设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，所以ca(x1，y)，c2b(x，y2)，所以，即(x，y)到A(1,0)和B(0,2)的距离和为，即表示点(1,0)和 (0,2)之间的线段，|c2a|，表示(2，0)到线段AB上点的距离，最小值是点(2，0)到直线2xy20的距离，|c2a|min，最大值为(2,0)到(1,0)的距离是3，所以|c2a|的取值范围是。故选D。【答案】(1)A(2)D考点三 平面向量的垂直问题【典例3】(1)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数k()A B0 C3 D.(2)已知向量与的夹角为120，且|3，|2。若，且，则实数的值为_。【解析】(1)因为2a3b(2k3，6)，(2a3b)c，所以(2a3b)c2(2k3)60，解得k3。故选C。(2)，由于，所以0，即()()22(1)94(1)320，。【答案】(1)C(
