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1、第四节基本不等式2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。2014，福建卷，13,4分(基本不等式的实际应用)2013，天津卷，14,5分(基本不等式求最值)2013，山东卷，12,5分(基本不等式求最值)从近五年的高考试题来看，利用基本不等式求最值，是高考命题的热点，题型多样，难度为中低档。主要考查最值、转化与化归思想。微知识小题练自|主|排|查1重要不等式a2b22ab(a，bR)(当且仅当ab时等号成立)。2基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0；(2)等号成立的条件：当且仅当ab时等号成立；(3)其
2、中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数。3利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y(0，)，且xyP(定值)，那么当xy时，xy有最小值2。(简记：“积定和最小”)(2)如果x，y(0，)，且xyS(定值)，那么当xy时，xy有最大值。(简记：“和定积最大”)4常用的几个重要不等式(1)ab2(a0，b0)。(2)ab2(a，bR)。(3)2(a，bR)。(4)2(a，b同号)。以上不等式等号成立的条件均为ab。微点提醒1应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”。忽略某个条件，就会出错。2对于公式ab2，ab2，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式
3、也体现了ab和ab的转化关系。3在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式。若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致。小|题|快|练一 、走进教材1(必修5P100A组T1(2)改编)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80 B77C81 D82【解析】xy2281，当且仅当xy9时等号成立。故选C。【答案】C2(必修5P100练习T3改编)若把总长为20 m的篱芭围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_。【解析】设矩形的一边为x m，则另一边为(202x)(10x) m，所以Sx(10x)(x5)225(0x0，b0，且ab4，则下列不等式恒成立的是()A
4、. B.1C.2 Da2b28【解析】4ab2(当且仅当ab时，等号成立)，即2，ab4，选项A，C不成立；1，选项B不成立；a2b2(ab)22ab162ab8，选项D成立。故选D。【答案】D3若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a等于()A1 B1 C3 D4【解析】当x2时，x20，f(x)(x2)22 24，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x3，即a3，故选C。【答案】C4若x1，则x的最小值为_。【解析】xx11415(x1)。当且仅当x1，即x3时等号成立。【答案】55已知x0，y0，lgxlgy1，则z的最小值为_。【解析】由已知条件lgx
5、lgy1，可知xy10。则22，故min2，当且仅当2y5x时取等号。又xy10，即x2，y5时等号成立。【答案】2微考点大课堂考点一 利用基本不等式证明不等式【典例1】(1)设f(x)lnx,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()AqrpCprq(2)已知x，y，z是互不相等的正数，且xyz1，求证：8。【解析】(1)由条件可得pf()ln(ab)ln(ab)(lnalnb)，r(f(a)f(b)(lnalnb)p，由不等式的性质：在0a，且函数f(x)lnx是增函数，所以pf()，1，1，又x，y，z为正数，由，得8。【答案】(1)C(2)见解析反思归纳
6、利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等。【变式训练】设a，b均为正实数，求证：ab2。【证明】由于a，b均为正实数，所以2 ，当且仅当，即ab时等号成立，又因为ab2 2，当且仅当ab时等号成立，所以abab2，当且仅当即ab时取等号。考点二 利用基本不等式求最值多维探究角度一：配凑法求最值【典例2】(1)已知x1)的最小值为_。【解析】(1)因为x0，则f(x)4x23231。当且仅当54x
7、，即x1时，等号成立。故f(x)4x2的最大值为1。(2)y(x1)222(x1)。当且仅当x1，即x1时，等号成立。【答案】(1)1(2)22角度二：常数代换法求最值【典例3】已知a0，b0，ab1，则的最小值为_。【解析】a0，b0，ab1，222 4，即的最小值为4，当且仅当ab时等号成立。【答案】4【母题变式】1.本典例的条件不变，则的最小值为_。【解析】52549。当且仅当ab时，取等号。【答案】92本典例的条件和结论互换即：已知a0，b0，4，则ab的最小值为_。【解析】由4，得1。ab(ab)2 1。当且仅当ab时取等号。【答案】1角度三：消元法求最值【典例4】已知正实数x，y满
8、足xy2xy4，则xy的最小值为_。【解析】因为xy2xy4，所以x。由x0，得2y0，则0y4，所以xyy(y2)323，当且仅当y2(0y0，故1828，当且仅当x5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元。【答案】8微考场新提升1设非零实数a，b，则“a2b22ab”是“2”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析因为a，bR时，都有a2b22ab(ab)20，即a2b22ab，而2ab0，所以“a2b22ab”是“2”的必要不充分条件。故选B。答案B2(2017青岛模拟)已知x0，y0，lg2xlg8ylg2，则的最小值是()A2 B2C4
9、D2解析因为lg2xlg8ylg2，所以x3y1，所以(x3y)24，当且仅当，即x，y时，取等号。故选C。答案C3若直线1(a0，b0)过点(1,1)，则ab的最小值等于()A2 B3C4 D5解析因为直线1(a0，b0)过点(1,1)所以1，所以12 (当且仅当ab2时取等号)，所以2。又ab2(当且仅当ab2时取等号)，所以ab4(当且仅当ab2时取等号)。故选C。答案C4(2016鄂州一模)已知x0，则的最大值为_。解析因为，又x0时，x2 4，当且仅当x，即x2时取等号，所以0，即的最大值为。答案5已知a，bR，且ab50，则|a2b|的最小值是_。解析依题意得a，b同号，于是有|a2b|a|2b|22220，当且仅当|a|2b|10时取等号，因此|a2b|的最小值是20。答案20- 8 -
