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1、第六节双曲线2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)；2.了解双曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想。2016，全国卷，5,5分(双曲线标准方程)2016，全国卷，11,5分(双曲线离心率)2016，天津卷，6,5分(双曲线标准方程)2016，山东卷，13,5分(双曲线离心率)2016，北京卷，13,5分(双曲线的渐近线)1.以考查双曲线的概念及性质为主，直线与双曲线的位置关系也是考查的热点；2.题型主要以选择题、填空题为主，要求相对较低，但经常考查。微知识小题练自|主|排|查1双曲线的概
2、念平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距。集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a、c为常数且a0，c0。(1)当ac时，M点的轨迹是双曲线；(2)当ac时，M点的轨迹是两条射线；(3)当ac时，M点不存在。2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yx
3、yx离心率e，e(1，)，其中c性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长微点提醒1双曲线方程中c2a2b2，说明双曲线方程中c最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆。2双曲线1(a0，b0)的渐近线方程是yx，1(a0，b0)的渐近线方程是yx。3渐近线与离心率1(a0，b0)的一条渐近线的斜率为。4若P为双曲线上一点，F为其对应焦点，则|PF|ca。小|题|快|练一 、走进教材1(选修21P61A组T1改编)已知双曲线x21上一点P到它的一个
4、焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于_。【解析】设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|4，则|PF1|PF2|2，故|PF2|6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为ca1，故|PF2|6。【答案】62(选修21P58例3改编)双曲线1的渐近线方程为_。【解析】因为双曲线方程为1，所以其渐近线方程为0，即3x2y0。【答案】3x2y0或3x2y0二、双基查验1双曲线2x2y28的实轴长是()A2 B2C4 D4【解析】双曲线2x2y28的标准方程为1，所以实轴长2a4。故选C。【答案】C2过双曲线x2y28的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|7，F2是双曲线的右焦点
5、，则PF2Q的周长是()A28B148C148 D8【解析】由双曲线定义知，|PF2|PF1|4，|QF2|QF1|4，|PF2|QF2|(|PF1|QF1|)8。又|PF1|QF1|PQ|7，|PF2|QF2|78。PF2Q的周长为148。故选C。【答案】C3(2016天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为()A.y21 Bx21C.1 D.1【解析】由题意得c，则a2，b1，所以双曲线的方程为y21。故选A。【答案】A4以椭圆1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为_。【解析】设要求的双曲线方程为1(a0，b0)，由椭圆1，
6、得焦点为(1,0)，顶点为(2,0)。所以双曲线的顶点为(1,0)，焦点为(2,0)。所以a1，c2，所以b2c2a23，所以双曲线标准方程为x21。【答案】x215在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x2y0，则它的离心率为_。【解析】设双曲线方程为1(a0，b0)，其中一条渐近线方程为yx，即e214。e。【答案】微考点大课堂考点一 双曲线的定义及其应用母题发散【典例1】(1)已知圆C：(x3)2y24，定点A(3,0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为_。(2)已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|
7、PF2|，则cosF1PF2_。【解析】(1)设动圆M的半径为R，则|MC|2R，|MA|R，|MC|MA|2，由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a1，c3，b28，则动圆圆心M的轨迹方程为x21(x1)。(2)由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|4，则cosF1PF2。【答案】(1)x21(x1)(2)【母题变式】1.本典例(2)中将条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260”，则F1PF2的面积是多少？【解析】不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF2，所以|
8、PF1|PF2|8，所以SF1PF2|PF1|PF2|sin602。【答案】22本典例(2)中将条件“|PF1|2|PF2|”改为“0”，则F1PF2的面积是多少？【解析】不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，由于0，所以。所以在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|216，所以|PF1|PF2|4，所以SF1PF2|PF1|PF2|2。【答案】2反思归纳双曲线定义的应用主要有两个方面：(1)判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a
9、，运用平方的方法，建立与|PF1|PF2|的联系。【拓展变式】已知F是双曲线1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_。【解析】如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4,0)。由双曲线的定义及标准方程得|PF|PE|4，则|PF|PA|4|PE|PA|。由图可得，当A，P，E三点共线时，(|PE|PA|)min|AE|5，从而|PF|PA|的最小值为9。【答案】9考点二 双曲线的标准方程【典例2】(2016天津高考)已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲
10、线的方程为()A.1B.1C.1 D.1【解析】根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形。双曲线的渐近线方程为yx，圆的方程为x2y24，不妨设交点A在第一象限，由yx，x2y24得xA，yA，故四边形ABCD的面积为4xAyA2b，解得b212，故所求的双曲线方程为1。故选D。【答案】D反思归纳1.求双曲线的标准方程一般用待定系数法；2.当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax2By21(AB0，b0)的焦距为10，点P(2,1)在C的一条渐近线上，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且
11、双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1【解析】(1)依题意，解得双曲线C的方程为1。故选A。(2)由题意可得，c，又c27a2b2，解得a24，b23，故双曲线的方程为1。故选D。【答案】(1)A(2)D考点三 双曲线的几何性质多维探究角度一：双曲线的渐近线【典例3】(2016北京高考)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为(，0)，则a_；b_。【解析】由题意知，渐近线方程为y2x，由双曲线的标准方程以及性质可知2，由c，c2a2b2，可得b2，a1。【答案】12角度二：双曲线的离心率【典例4】(1)(2016全国卷)
12、已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A. B.C. D2(2)(2016湖南十校联考)设双曲线1的两条渐近线与直线x分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点。若60AFB90，则该双曲线的离心率的取值范围是()A(1，) B(，2)C(1,2) D(，)【解析】(1)设F1(c,0)，将xc代入双曲线方程，得1，所以1，所以y。因为sinMF2F1，所以tanMF2F1，所以e2e10，所以e。故选A。(2)双曲线1的两条渐近线方程为yx，x时，y，不妨设A，B，60AFB90，kFB1，1，1，1，1e213，e2。故选B。【答案】(1)A(2)B角度三：双曲线性质的综合应用【典例5】已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.【解析】由题意知a，b1，c，F1(，0)，F2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0)。0，(x0)(x0)y0，即x3y0。点M(x0，y0)在双曲线上，y1，即x22y，22y3y0，y00，b0)中，离心率
