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1、第五节指数与指数函数2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；4.知道指数函数是一类重要的函数模型。2016，全国卷，6,5分(指数函数比较大小)2015，山东卷，2,5分(指数函数单调性)2015，江苏卷，7,5分(解指数不等式)2014，江苏卷，5,5分(指数求值)直接考查指数函数的图象及其性质或以指数与指数函数为知识载体，考查指数幂的运算和函数图象的应用，或以指数函数为载体与函数方程、不等式等内容交汇命题。微知识小题
2、练自|主|排|查1根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果xna，那么x叫做a的n次方根n1且nN*当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数零的n次方根是零当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数(a0)负数没有偶次方根(2)两个重要公式()na(注意a必须使有意义)。2有理数的指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：a(a0，m、nN*，且n1)；负分数指数幂：a(a0，m、nN*，且n1)。0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。(2)有理数指数幂的性质arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr
3、(a0，b0，rQ)。3指数函数的图象与性质yaxa10a1图象定义域R值域(0，)性质(1)过定点(0,1)(2)当x0时，_y1；x0时，0y1(2)当x0时，0y1；x0时，y1(3)在R上是增函数(3)在R上是减函数微点提醒1指数幂运算化简的依据是幂的运算性质，应防止错用、混用公式。对根式的化简，要先化成分数指数幂，再由指数幂的运算性质进行化简。2指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此，应用单调性解题时，应对底数a分为a1和0a0，且a1)的图象经过，则f(1)()A1 B2C. D3【解析】由a2，a，f(x)x，f(1)1。故选C。【答案】C2(必修1P60B组T1改编)不等
4、式a2x7a4x1(0a1)的解集为_。【解析】yax(0a1)为减函数，所以2x73。【答案】(3，)二、双基查验1(2016唐山模拟)函数yax(a0，且a1)的图象可能是()【解析】解法一：当a1时，yax为增函数，且在y轴上的截距为011，此时四个选项均不对；当0a0，且a1)的图象必过点(1,0)，所以选D。【答案】D2设ba1，那么()Aaaabba BaabaabCabaaba Dabbaaa【解析】由baba0，又因为函数yax(0aab，所以A，B不成立。函数yxn(n0)在(0，)内是单调递增的，又ab，所以aa0，a1)的定义域和值域都是1,0，则ab_。【解析】当0a1
5、时，函数f(x)在1,0上单调递增，由题意可得即显然无解。所以ab。【答案】4如图所示，曲线C1，C2，C3，C4分别是指数函数yax，ybx，ycx，ydx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是_。【答案】cd1ab微考点大课堂考点一 指数幂的计算【典例1】计算：(1)0.5(0.1)230；(2)(a0，b0)；(3)若xx3，求的值。【解析】(1)原式31003100。(2)原式a1b12ab1。(3)由xx3，两边平方，得xx17，再平方得x2x247。x2x2245。由xx3，两边立方，得x3x3xx27。xx18，xx315。【答案】(1)100(2)ab1(3)反思归纳1.指数
6、幂的运算首先将根式、分数指数幂统一化为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底指数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序。2当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数。3运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。【变式训练】(1)化简 (x0，y0)得()A2x2yB2xyC4x2y D2x2y(2)_。【解析】(1)(16x8y4)24(x)8(y)424(x)8(y)42(x)2(y)2x2y。故选D。(2)原式。【答案】(1)D(2)考点二 指数函数的图象及应用母题发散【典例2】(1)(2017秦皇岛模拟)函数f(x)21x的大致图象为()(2)
7、若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_。【解析】(1)函数f(x)21x2x，单调递减且过点(0,2)，选项A中的图象符合要求。故选A。(2)曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所示，由图象可得：如果曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1，1。【答案】(1)A(2)1,1【母题变式】若将本典例(2)中“|y|2x1”改为“y|2x1|”，且与直线yb有两个公共点，求b的取值范围。【解析】曲线y|2x1|与直线yb的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y|2x1|与直线yb有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)。【答案】(0,1)反思归纳指数函数图象的画
8、法及应用1与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象。2一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解。【拓展变式】(2016呼和浩特模拟)偶函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且在x0,1时，f(x)x，则关于x的方程f(x)x，在x0,4上解的个数是()A1 B2C3 D4【解析】由f(x1)f(x1)可知T2。因为x0,1时，f(x)x，f(x)是偶函数，所以可得图象如图，所以f(x)x在x0,4上解的个数是4个。故选D。【答案】D考点三 指数函数的性质及应用多维探究角度一：比较大小【典例3】(2016全国卷)已知a2，b4，c25，则()Abac BabcCbca Dcab【解析】因为a216，b416，c25，且幂函数yx在R上单调递增，指数函数y16x在R上单调递增，所以ba0的解集为_。【解析】(1)当a1时，代入不成立。a。(2)f(x)为偶函数，当x0时，有或解得x4或x4或x4或xy1y2 By2y1y3Cy1y2y3 Dy1y3y2解析y121.8，y221.44，y321.5，y2x在定义域内为增函数，y1y3y2。故选D。答案D4已知f(x)2x2x，若f(a)3，则f(2a)_。解析f(x)2x2x，f(a)3，2a
