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1、【2019最新】精选高考数学大一轮复习第十三章推理与证明算法复数13-1合情推理与演绎推理教师用书理新人教1合情推理(1)归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)特点：由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)特点：由特殊到特殊的推理(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统
2、称为合情推理2演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9
3、的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是ann(nN*)()(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()1观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10等于()A28 B76C123 D199答案C解析从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a10b10123.2下面几种推理过程是演绎推理的是()A在数列an中，a11，an(an1)(n2)，由此归纳数列an的通项公式B由平面三角形的性质，推测空
4、间四面体性质C两直线平行，同旁内角互补，如果A和B是两条平行直线与第三条直线形成的同旁内角，则AB180D某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人答案C解析A、D是归纳推理，B是类比推理，C符合三段论模式，故选C.3(2017济南调研)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行则正确的结论是_答案解析显然正确；对于，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；
5、对于，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交4(教材改编)在等差数列an中，若a100，则有a1a2ana1a2a19n (n19，nN*)成立，类比上述性质，在等比数列bn中，若b91，则存在的等式为_答案b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)解析利用类比推理，借助等比数列的性质，bb1nb17n，可知存在的等式为b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)5(2017西安质检)观察下列式子：1,121,12321,1234321，由以上可推测出一个一般性结论：对于nN*,12n21_.答案n2解析112,12122,1232132，123432142，归纳可得12
6、n21n2.题型一归纳推理命题点1与数字有关的等式的推理例1(2016山东)观察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此规律，2222_.答案n(n1)解析观察等式右边的规律：第1个数都是，第2个数对应行数n，第3个数为n1.命题点2与不等式有关的推理例2(2016山西四校联考)已知x(0，)，观察下列各式：x2，x3，x4，类比得xn1(nN*)，则a_.答案nn解析第一个式子是n1的情况，此时a111；第二个式子是n2的情况，此时a224；第三个式子是n3的情况，此时a3327，归纳可知ann.命题点3与数列有关的推理例3古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边
7、形数，如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n，记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数 N(n,3)n2n，正方形数 N(n,4)n2，五边形数 N(n,5)n2n，六边形数 N(n,6)2n2n. 可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.答案1 000解析由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)n2n，N(10,24)100101 1001001 000.命题点4与图形变化有关的推理例4(2017大连调研)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,
8、3,5，则预计第10年树的分枝数为()A21 B34 C52 D55答案D解析由211,312,523知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D.思维升华归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解(2)与不等式有关的推理观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解(3)与数列有关的推理通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可(4)与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性(1
9、)(2015陕西)观察下列等式：1，1，1，据此规律，第n个等式可为_(2)(2016抚顺模拟)观察下图，可推断出“x”处应该填的数字是_答案(1)1(2)183解析(1)等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个有n项，且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应为.(2)由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，“x”处应填的数字是325272102183.题型二类比推理例5(1)(2017西安月考)对于命题：如果O是线段AB上一点，则|0；将它类
10、比到平面的情形是：若O是ABC内一点，有SOBCSOCASOBA0；将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有_(2)求 的值时，采用了如下方法：令 x，则有x，解得x(负值已舍去)可用类比的方法，求得1的值为_答案(1)VOBCDVOACDVOABDVOABC0(2)解析(1)线段长度类比到空间为体积，再结合类比到平面的结论，可得空间中的结论为VOBCDVOACDVOABDVOABC0.(2)令1x，则有1x，解得x(负值已舍去)思维升华(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想其中找到合适的类比对象是解题的关键(2)类比推理常见的情形有平
11、面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为_答案1解析设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥ABCD四个面上的高，P为三棱锥ABCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论：1.题型三演绎推理例6设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足4Sna4n1，nN*，且a2，a5，a14构成等比数列(1)证明：a2；(2)求数列
12、an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有0，a2.(2)解当n2时，4Sn1a4(n1)1，4an4Sn4Sn1aa4，即aa4an4(an2)2，又an0，an1an2，当n2时，an是公差为2的等差数列又a2，a5，a14成等比数列，aa2a14，即(a26)2a2(a224)，解得a23.由(1)知a11，又a2a1312，数列an是首项a11，公差d2的等差数列an2n1.(3)证明(1)()()(1).思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提(1)某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为()A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D非以上错误(2)(2016洛阳模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无理数；结论：是无限不循环小数B大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无限不循环小数；结论：是无理数C大前提：是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：是无理数D大前提：是无限不循环小数；小前提：是无理
