《量子力学_7.1量子态的不同表象和幺正变换课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《量子力学_7.1量子态的不同表象和幺正变换课件（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、*第 7 章 量子力学中的矩阵形式 与表象变换,一、直角坐标系中的类比,取平面直角坐标系x1x2的基矢为e1和e2,长度为1，彼此正交,标积,我们将其称之为基矢的正交归一关系.,A1、A2代表A在坐标系中的投影.,称为矢量A在坐标系x1x2中的表示.,7.1 量子态的不同表象，么正变换,二、坐标系顺时针转动,现在将坐标系x1x2顺时针方向转动，得到 x1x2,其基矢为e1和e2,满足,在此坐标系中,矢量A表示成,其中投影分量是,同一个矢量A在两个坐标系中的表示有什么关系？ 根据(2)和(2)式,上式分别用e1和 e2点乘,得,表成矩阵的形式为,或记为,把A在两坐标中的表示联系起来的变换矩阵,矩
2、阵R的矩阵元是两个坐标系的基矢之间的标积，它表示基矢之间的关系.故当R 给定，则任何一个矢量在两坐标系间的关系也随之确定.,三、变换矩阵的性质,变换矩阵R 具有下述性质：,是R的转置矩阵,真正交矩阵,（实矩阵）,四、不同表象中基矢的关系,量子态和力学量(算符)的不同表示形式,称为表象。,形式上与此类似，在量子力学中，按态叠加原理，任何一个量子态，可以看成抽象的Hilbert空间中的一个“矢量”.体系的任何一组对易力学量完全集F的共同本征态，可以用来构成此空间的一组正交归一完备的基矢（称为F表象）,对于任意态矢量y ，可以用它们展开,其中,与平常解析几何不同的是：,这里的“矢量”(量子态)一般是
3、复量；,空间维数可以是无穷的，甚至不可数的.,现在考虑同一个态y在另一组力学量完全集 F中的表示. F表象的基矢,即F的本征态 ya ,它们满足正交归一性,对于任意态矢量y ，可以用它们展开,显然,其中,F表象基矢与F表象基矢的标积,(15)式也可以写成矩阵的形式：,简记为,式(17)就是同一个量子态在F表象中的表示与它在 F表象中表示的关系，它们通过S 矩阵相联系，且,变换矩阵S 为么正(unitary)矩阵矩阵，此变换也称为么正变换.,一、直角坐标系中的类比,仍以平面矢量作类比,（逆时针转动q角）,在坐标系x1x2中，它们分别表示成,令,*7.2 力学量（算符）的矩阵表示,写成分量的形式，
4、有,分别点乘上式得,即,（2）式的矩阵表示,把矢量逆时针方向旋转q角的操作可用R(q )刻画,它的矩阵元是描述基矢在旋转下如何变化的. 例如第一列元素,与上类比,设量子态y经过算符 运算后变成另一个态f,在F表象中,上式表示为,其中,式(6)表示成矩阵形式则为,分析：不同体系的Hamilton量不一样，能量表象的基矢 也不一样.这里能量表象的基矢为一维谐振子Hamilton量 的本征函数,解：利用一维谐振子波函数的递推关系,二、例：求一维谐振子的坐标 x、动量 p以及Hamilton量 H 在能量表象中的表示.,可以计算出,注意：这里的m、n都是由0开始取值.这样,而,所以,是一个对角矩阵,任
5、何力学量在自身表象中的表示都是对角矩阵.,三、力学量的表象变换,F表象（基矢yk）中，力学量L表示为矩阵（Lkj）,矩阵元,F表象（基矢ya）中，力学量L表示为矩阵（Lab）,矩阵元,得,即,在 F 和 F表象中的矩阵表示,分别表示力学量,是从F表象F表象的么正变换,三、总结与比较,量子态,力学量,表象（基矢 ）,表象（基矢 ）,7.3.1 Schrdinger方程,在F表象中(设F本征值为离散),代入（1）式得,7.3 量子力学的矩阵形式,写成矩阵的形式是,此即F表象中的Schrdinger方程.,7.3.2 平均值,，力学量(算符),在量子态,的平均值为,在y态下,7.3.3 本征方程,即
6、,这是ak的齐次线性方程组.,方程组有非平庸解的条件是系数行列式为零，即,明显写出：,如表象空间的维数为N，则上式是关于的N次方程， 有N个实根.记为,分别用,代入式（8），可求出相应的解,可以得到,表成列矢的形式为,注意：若有重根，则会 出现简并（不同的态对 应相同的能级），简并 态还不能唯一确定.,7.4.1 左矢(bra)和右矢(ket),Dirac符号的优点,1. 毋需采用具体表象,2. 运算简捷,Hilbert空间：由量子体系的一切可能状态构成.,也可以在右矢内填上相应的量子数或本征值来表示 相应的态，如,7.4 Dirac符号,分别表示坐标、动量和能量算符的本征态.,7.4.2 标
7、积,而,定义两个态矢,和,的标积,的形式为,对连续谱，比如坐标算符的本征态的正交归一性可写为,而动量算符的本征态的正交归一性可写为,7.4.3 态矢在具体表象中的表示,1. 离散谱的情况,展开系数,在,它是,上的投影.用列矢表示为,可用 展开，即,在F表象中(基矢记为 ),任意态矢量,(4)式代入(3)式,得,式(5)中 是任意的,因此,我们称算符I 为单位算符，这是基矢完备性的表现， 通过以后的学习会发现它有着非常重要的意义.,2. 连续谱的情况,在这种情况下,上述的求和要用积分代替.比如：,3.两个态矢之间的标积写法,7.4.4 算符在具体表象中的表示,设态矢 经算符 的作用后变成态矢 ,
8、即,即,在F表象中的表示为,即,力学量L的本征方程,基矢 方向的投影.,是 在F表象的,式(15)写成矩阵的形式，有,7.4.5 Schrdinger方程,Schrdinger方程可写为,在F表象中表示如下：,即,7.4.6 表象变换,1.态的表象变换,则此两个表示之间的关系可由下式给出(利用(8)式),即,式中,是从FF表象的变换，描述两个表象的基矢之间的关系。,写成矩阵的形式，有,可以简写成,其中S为么正矩阵，即满足,下面用Dirac符号来证明上式,证明：在F表象中,同理可证,2. 算符的表象变换,在F表象中的矩阵元为,而,写成矩阵的形式是,以下讨论连续谱表象，特别是坐标表象和动量表象,(
9、1)在x表象中x的矩阵元很容易写出,本征方程为,本征态的正交归一关系为,在x表象中，坐标本征态（本征值为x）表示为,而动量本征态(本征值为p)表示为,类似可以给出动量的本征方程和本征态的正交归一关系为,在动量表象中，动量本征态(本征值为p)表示为,坐标本征态(本征值为x) 表示为,(2)坐标表象与动量表象的变换,在坐标表象中，力学量的“矩阵”表示如下， 例如，坐标x矩阵表示为,而动量p的“矩阵”表示为,与此类似,可计算出,在动量表象中动量的“矩阵”表示,而坐标x的“矩阵”表示为,3. 力学量在不同表象中的平均值,例：求势能V(x)和动能,在x和p表象中的平均值,解：,在x表象中,在p表象中,设粒子在势场V(x)中运动，,则Schrdinger方程为,4. Schrdinger方程在不同表象中的表示,即,在p表象中，用,左乘（45）式得,
