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1、函数与方程复习讲义 作者： 日期：.函数与方程复习讲义一【目标要求】结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数会理解函数零点存在性定理，会判断函数零点的存在性.二【基础知识】1函数零点的概念：对于函数，我们把方程的实数根叫做函数的零点。2函数零点与方程根的关系：方程有实数根函数的图象与有点函数有零点3函数零点的存在性定理：如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，并且有 ，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。注：若恒成立，则没有零点。三【技巧平台】1.对函数零点的理解及补充（1）若在处其函数值为0，即，则称为函数的零点。（2
2、）变号零点与不变号零点若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点。若函数在零点左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点。若函数在区间上的图像是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。（3）一般结论：函数的零点就是方程的实数根。从图像上看，函数的零点，就是它图像与交点的横坐标。（4）更一般的结论：函数的零点就是方程的实数根，也就是函数与的图像交点的横坐标。2.函数零点个数（或方程实数根的个数）确定方法1) 代数法：函数的零点的根2) 几何法：有些不容易直接求出的函数的零点或方程的根，可利用 的图像和性质找出零点。画3) 注意二次函数的零点个数问题 有2个零
3、点有两个不等实根 有1个零点有两个相等实根 无零点无实根 对于二次函数在区间上的零点个数，要结合图像进行确定4) 对于函数的零点个数问题，可画出两个函数图像，看其交点个数有几个，则这些交点横坐标有几个不同的值就有几个零点。5) 方程的根或函数零点的存在性问题，要以根据区间端点处的函数值乘积的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处的函数值的正负，作出正确的判断。6) 要特别注意数形结合解出方程解的个数的问题。3.一元二次函数的零点、一元二次方程的根、
4、一元二次不等式的解集之间的关系。为学习的方便，在解一元二次不等式和一元二次方程时，把二次项系数化为正数，（1）恒成立，恒成立（2）的解集为R 的解集为R（3）对于二次函数在区间上的最值问题，参照第1.5（1）和1.5（2）节4.用二分法求方程的近似解给定精确度，用二分法求方程的近似解的基本步骤如下：1.精确区间，使.令.2.取区间的中点,计算 一般步骤(1)如果,则就是的零点, 计算终止；(2) 如果,则零点位于区间,令； (3) 如果,则零点位于区间令。3. 取区间的中点,计算(1)如果,则就是的零点, 计算终止；(2) 如果,则零点位于区间,令； (3) 如果,则零点位于区间令。4判断是不
5、是达到精确度,即如果,则得到零点近似值a或(b)； 否则就重复步骤2-4函数与方程复习题1.(2015安徽2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】A2.( 2015天津8)已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是( )（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】由得，所以，即,所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合.3.(2015湖南15)已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 .【答案】.【解析】试题分析：分析题意可知
6、，问题等价于方程与方程的根的个数和为，若两个方程各有一个根：则可知关于的不等式组有解，从而；若方程无解，方程有2个根：则可知关于的不等式组有解，从而，综上，实数的取值范围是.4.(2015北京14)设函数若，则的最小值为；若恰有2个零点，则实数的取值范围是【答案】(1)1，(2)或.【解析】时，函数在上为增函数，函数值大于1，在为减函数，在为增函数，当时，取得最小值为1；（2）若函数在时与轴有一个交点，则，并且当时，则，函数与轴有一个交点，所以；若函数与轴有无交点，则函数与轴有两个交点，当时与轴有无交点，在与轴有无交点，不合题意；当时，与轴有两个交点，和，由于，两交点横坐标均满足；综上所述的取
7、值范围或.5.(2015江苏13)已知函数，则方程实根的个数为 【答案】4【解析】由题意得：求函数与交点个数以及函数与交点个数之和，因为，所以函数与有两个交点，又，所以函数与有两个交点，因此共有4个交点6.(2014山东08）已知函数,.若方程有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】画出的图象最低点是，过原点和时斜率最小为，斜率最大时的斜率与的斜率一致。7.(2014天津14）已知函数，.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为_.【答案】或.【解析】在同一坐标系内分别作出yf(x)与ya|x1|的图像如图所示当ya|x1|与yf(x)的图像相切
8、时，由整理得x2(3a)xa0，则(3a)24aa210a90，解得a1或a9.故当ya|x1|与yf(x)的图像有四个交点时，0a9.8.(2014江苏13）已知是定义在上且周期为3的函数，当时， 在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 【答案】【解析】根据题目条件，零点问题即转化为数形结合，通过找与的图象交点去推出零点，先画出0,3上的图像，再将轴下方的图象对称到上方，利用周期为3，将图象平移至，发现若图象要与有10个不同的交点，则9已经函数，则在0，2上的零点个数为（ B ） A1B2 C3D410下列函数中，在上有零点的函数是（ D ）A B C D11.设定义在R上的函
9、数，若关于x的方程f2(x) +af(x) +b=O有5个不同实数解,则实数a的取值范围是（D ）A.(0,1) B.(- ,-1) C.(1，+ ) D. ( -，2) U ( 2， 1)12.已知函数与g(x)=x3+t，若f(x)与g(x)的交点在直线y = x的两侧，则实数t的取值范围是（ B ）A. (-6，0B. ( -6,6)C. (4,+ )D. ( -4,4)13“m1”是“函数f(x)x22xm有零点”的（A ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件14设函数f(x)，g(x)ax2bx（a，bR，a0），若yf(x)的图象与yg(x)的图
10、象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是（D ）A当a0时，x1x20，y1y20 B当a0时，x1x20，y1y20C当a0时，x1x20，y1y20 D当a0时，x1x20，y1y2015.设函数f（x）（xR）满足f（x）f（x），f（x）f（2x），且当x0,1时，f（x）x2，又函数g（x）xcos（x），则函数h（x）g（x）f（x）在上的零点个数为（B ）A、5B、6C、7D、816（2013年重庆）若,则函数的两个零点分别位于区间( )A.和内 B.和内 C.和内 D.和内【答案】A 17（2013年湖南）函数的图像与函数的图像的交点个数
11、为（ ）A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】B 18（2013年天津数学）函数的零点个数为（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【答案】B19（2013上海）方程的实数解为_【答案】. 20.(2012辽宁11)设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为（ ）(A)5 (B)6 (C)7 (D)8【答案】B21.(2012湖北9)函数在区间上的零点个数为（ ）A4 B5 C6 D7【答案】C22.(2012天津14)已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则
12、实数k的取值范围是_.【答案】或23、已知，在上都有且只有一个零点，的零点为，的零点为，则（ A ）A B C D24.(2012江苏17)如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由【答案】解：（1）在中，令，得。由实际意义和题设条件知。，当且仅当时取等号。炮的最大射程是10千米。（2），炮弹可以击中目标等价于存在，使成
13、立，即关于的方程有正根。由得。此时，（不考虑另一根）。当不超过6千米时，炮弹可以击中目标。25用“二分法”求方程在区间的实数根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是 ；2，2.526用二分法求图象是连续不断的函数在内零点近似值的过程中得到，则函数的零点落在区间（ B ）A（1，1.25） B（1.25，1.5） C（1.5，2） D无法确定27已知函数在区间上有唯一的零点，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，则下列说法中正确的是（ B ）A函数在区间内一定有零点 B函数在区间或有，或零点是C函数在区间内无零点 D函数在区间或有零点28下列函数中能用二分法求零点的是（ B ）A B C
