2017-2018学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.3 导数的几何意义 新人教B版选修1-1

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1、第三章,导数及其应用,3.1.3导数的几何意义,学习目标 1.了解导函数的概念;了解导数与割线斜率之间的关系. 2.理解曲线的切线的概念;理解导数的几何意义. 3.会求曲线上某点处的切线方程,初步体会以直代曲的意义.,1,预习导学 挑战自我,点点落实,2,课堂讲义 重点难点,个个击破,3,当堂检测 当堂训练,体验成功,知识链接 如果一个函数是路程关于时间的函数,那么函数在某点处的导数就是瞬时速度,这是导数的实际意义,那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数,它具有怎样的几何意义呢?,答:设函数yf(x)的图象如图所示,AB是过点A(x0,f(x0)与点B(x0 x,f(x0 x)的一条割线,

2、此割线的斜率是,当点B沿曲线趋近于点A时,割线AB绕点A转动,它的极限位置为直线AD,这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线.于是,当x0时,割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k,即kf(x0),预习导引 导数的几何意义 函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的 .也就是说,曲线yf(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率是 .相应地,切线方程为 .,斜率,f(x0),yf(x0)f(x0)(xx0),要点一已知过曲线上一点求切线方程,例1若曲线 yx33ax在某点处的切线方程为y3x1,求a的值. 解yx33ax.,设曲线与直线

3、相切的切点为P(x0,y0),,要点二求过曲线外一点的切线方程 例2 已知曲线y2x27,求: (1)曲线上哪一点的切线平行于直线4xy20?,(1)设切点为(x0,y0),则4x04,x01,y05, 切点坐标为(1,5).,(2)曲线过点P(3,9)的切线方程.,解由于点P(3,9)不在曲线上. 设所求切线的切点为A(x0,y0),则切线的斜率k4x0, 故所求的切线方程为yy04x0(xx0).,解得x02或x04,所以切点为(2,1)或(4,25). 从而所求切线方程为8xy150或16xy390.,规律方法若题中所给点(x0,y0)不在曲线上,首先应设出切点坐标,然后根据导数的几何意

4、义列出等式,求出切点坐标,进而求出切线方程.,曲线上,得x0 y01,联立可解得x01,y01, 所求直线方程为xy20.,要点三求切点坐标 例3在曲线yx2上过哪一点的切线, (1)平行于直线y4x5;,(1)因为切线与直线y4x5平行, 所以2x04,x02,y04, 即P(2,4)是满足条件的点.,(2)垂直于直线2x6y50;,解因为切线与直线2x6y50垂直,,(3)倾斜角为135.,解因为切线的倾斜角为135, 所以其斜率为1.即2x01,,规律方法解答此类题目时,所给直线的倾斜角或斜率是解题的关键,由这些信息得知函数在某点处的导数,进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的

5、应用,如直线的倾斜角与斜率的关系,平行,垂直等.,跟踪演练3已知抛物线y2x21,求: (1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4xy20? 解设点的坐标为(x0,y0),则,即f(x0)4x0.,(1)抛物线的切线平行于直线4xy20, 斜率为4, 即f(x0)4x04,得x01,该切点为(1,3).,(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x8y30? 解抛物线的切线与直线x8y30垂直, 切线的斜率为8, 即f(x0)4x08,得x02,该切点为(2,9).,1,2,3,4,1.已知曲线yf(x)2x2上一点A(2,8),则点A处的切线斜率为( ) A.4 B.16C.8 D.2,C,1,2,3,4,2.若曲线yx2axb在点(0,b)处的切线方程是xy10,则( ) A.a1,b1 B.a1,b1 C.a1,b1 D.a1,b1,1,2,3,4,解析由题意,知ky|x0,又(0,b)在切线上,b1,故选A. 答案A,1,2,3,4,1,2,3,4,答案B,1,2,3,4,4.已知曲线yf(x)2x24x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为_.,(3,30),课堂小结,2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个具体数值,不是变量,“导函数”是一个函数,二者有本质的区别,但又有密切关系,f(x0)是其导函数yf(x)在xx0处的一个函数值.,

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