电磁场教案第1章 静电场 课件

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1、第一章 静电场,第一章 静 电 场, 静电场： 相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。, 本章任务： 阐述静电荷与电场之间的关系，在已知电荷或电位的情况下求解 电场的各种计算方法，或者反之。, 静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法在一 定条件下可类比推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。, 静电场知识结构框图,1.1.1 库仑定律,1.1 电场强度,N( 牛顿),适用条件, 两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;,结论：电场力符合矢量叠加原理,图1.1.1 两点电荷间的作用力,库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明: 真空中两个静止的点电荷 与 之间的相互作用

2、力:,当真空中引入第三个点电荷 时，试问 与 相互间的作用力改变吗? 为什么？,1.1.2 静电场基本物理量电场强度,a) 点电荷产生的电场强度,V/m,V/m,图1.1.2 点电荷的电场,b) n个点电荷产生的电场强度 (注意:矢量叠加),c) 连续分布电荷产生的电场强度,V/m,面电荷分布,线电荷分布,图1.1.3 体电荷的电场,解: 采用直角坐标系, 令y轴经过场点p,导线与x轴重合。,(直角坐标),( 圆柱坐标),图1.1.4 带电长直导线的电场, 无限长直均匀带电导线产生的电场为平行平面场。, 电场强度 的矢量积分一般先转化为标量积分, 然后再合成,即, 点电荷的数学模型, 积分是对

3、源点 进行的,计算结果是场点 的函数。,当 时，电荷密度趋近于无穷大，通常 用冲击函数 表示点电荷的密度分布。,图1.1.5 单位点电荷的密度分布,点电荷的密度,点电荷,矢量恒等式,直接微分得, 可以证明，上述结论适用于点电荷群和连续分布电荷产生的电场。,表明 静电场是一个无旋场。,即任一分布形式的静电荷产生的电场的旋度恒等于零，即,2. 静电场的环路定律, 在静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。, 电场力作功与路径无关,静电场是保守场。,无旋场一定是保守场，保守场一定是无旋场。,由斯托克斯定理，得,3 . 电位函数,在静电场中可通过求解电位函数(Potential)， 再利用上式可

4、方便地求得电场强度E 。式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。,2) 已知电荷分布，求电位：,点电荷群,连续分布电荷,1) 电位的引出,以点电荷为例推导电位：,根据矢量恒等式,3) E与 的微分关系,在静电场中，任意一点的电场强度E的方向总是沿着电位减少的最快 方向，其大小等于电位的最大变化率。,在直角坐标系中：,4) E与 的积分关系,设P0为参考点,根据 E 与 的微分关系，试问静电场中的某一点,图1.2.1 E与 的积分关系,5) 电位参考点的选择原则, 场中任意两点的电位差与参考点无关。, 同一个物理问题，只能选取一个参考点。, 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义

5、。,例如：点电荷产生的电场：,表达式无意义, 电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；, 电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。,6) 电力线与等位线（面）, E 线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E的方向一致，若 是电力线的长度元，E 矢量将与 方向一致，,故电力线微分方程,当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线（面）。,在球坐标系中：,电力线微分方程（球坐标系）：,代入上式，得,将 和代入上式，,等位线方程（球坐标系）：,用二项式展开，又有，得,表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。,图1.2.2 电偶极子,电力线与等位线（面）的性质：, E线不能相交;, E线起始于正电

6、荷，终止于负电荷;, E线愈密处，场强愈大;, E线与等位线（面）正交；,图1.2.3 电偶极子的等位线和电力线,图1.2.4 点电荷与接地导体的电场,图1.2.5 点电荷与不接地导体的电场,图1.2.6 均匀场中放进了介质球的电场,图1.2.7 均匀场中放进了导体球的电场,图1.2.8 点电荷位于一块介质上方的电场,图1.2.9 点电荷位于一块导平面上方的电场, 对上式等号两端取散度；, 利用矢量恒等式及矢量积分、微分的性质，得,1.2.2 真空中的高斯定律,1. 静电场的散度高斯定律的微分形式,真空中高斯定律的微分形式,点电荷产生的电场,其物理意义表示为,高斯定律说明了静电场是一个有源场，

7、电荷就是场的散度（通量源），电力线从正电荷发出，终止于负电荷。,2. 高斯定律的积分形式,式中 n 是闭合面包围的点电荷总数。,2. 静电场中的电介质,图1.2.13 静电场中的导体, 电介质在外电场E作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩； 电介质内部和表面产生极化电荷； 极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。,式中 为体积元 内电偶极矩的矢量和，P的方向从负极化电荷指向 正极化电荷。,一个电偶极子产生的电位：,极化强度 P 是电偶极矩体密度，根据叠 加原理，体积V内电偶极子产生的电位为：,式中,图1.2.15 电偶极子产生的电位,矢量恒等式：,图1.2.16 体积V内电偶极矩产生的电位, 在

8、均匀极化的电介质内，极化电荷体密度,这就是电介质极化后，由面极化电荷 和体极化电荷 共同作用在真空 中产生的电位。, 根据电荷守恒原理，这两部分极化电荷的总和, 有电介质存在的场域中，任一点的电位及电场强度表示为,其中,相对介电常数；,介电常数，单位（F/m）, 在各向同性介质中, D线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。,图示平行板电容器中放入一块介质后，其D 线、E 线和P 线的分布。, D 线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷；, P 线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。, E 线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上；,电场强度在电介质内部是增加了，还是减少了

9、？,思考：,( ),( ),( ),q,q,D 的通量与介质无关，但不能认为D 的分布与介质无关。,D 通量只取决于高斯面内的自由电荷，而高斯面上的 D 是由高斯面内、外的系统所有电荷共同产生的。,B） 高斯定律的积分形式,图1.2.19 点电荷q分别置于金属球壳的内外,图1.2.18 点电荷的电场中置入任意一块介质,例1.2.2 求电荷线密度为 的无限长均匀带电体的电场。,由 得,图1.2.20 电荷线密度为 的无限长均匀带电体,4. 高斯定律的应用,b）选择适当的闭合面作为高斯面，使 容易积分。, 高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定对称性的场才能得到解析解。,图1.2.22 球壳内的电

10、场,图1.2.21 球壳外的电场,静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。这两个重要特性用简洁的数学形式为：,解：根据静电场的旋度恒等于零的性质,例1.3.1 已知 试判断它能否表示个静电场？,对应静电场的基本方程 ，矢量 A 可以表示一个静电场。,能否根据矢量场的散度来判断该矢量场是否是静电场?,以分界面上点P作为观察点，作一 小扁圆柱高斯面（ ）。,2、电场强度E的衔接条件,以点P 作为观察点，作一小矩形 回路（ ）。,分界面两侧 E 的切向分量连续。,分界面两侧的 D 的法向分量不连续。当 时，D 的法向分量连续。,图1.3.2 在电介质分界面上应用环路定律,则有,根据,根据

11、则有,图1.3.1 在电介质分界面上应用高斯定律,表明：（1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量；（2）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷密度 。,在交界面上不存在 时，E、D满足折射定律。,折射定律,图1.3.3 分界面上E线的折射,因此,表明: 在介质分界面上，电位是连续的。,3、用电位函数 表示分界面上的衔接条件,设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间距为d， ,则,表明: 一般情况下 ,电位的导数是不连续的。,图1.3.4 电位的衔接条件,对于导体与理想介质分界面，用电位 表示的衔接条件应是如何呢？,解：忽略边缘效应,例1.3.2 如图(a)与图(b)所

12、示平行板电容器,已知 和 ,图(a)已知极板间电压U0 , 图(b)已知极板上总电荷 ,试分别求其中的电场强度。,推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程：,泊松方程, 泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。,例1.4.1 列出求解区域的微分方程,1.4.2 静电场的边值问题,图1.4.1 三个不同媒质区域的静电场,为什么说第二类 边界条件 与导体上给定电荷分 布或边界是电力线的条 件是等价的？,边值问题 研究方法,计算法,实验法,作图法,解析法,数值法,实测法,模拟法,定性,定量,积分法,分离变量法,镜像法、电轴法,微分方程法,保角变换法,有限差分法,有限元法,边界元法,

13、矩量法,模拟电荷法,数学模拟法,物理模拟法,图1.4.3 边值问题研究方法框图,例1.4.2 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形，铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为 ，并且在两导体之间接有电源 U0，试写出该电缆中静电场的边值问题。,解：根据场分布对称性，确定场域。,（阴影区域）,场的边值问题,图1.4.4 缆心为正方形的同轴电缆横截面,边界条件,积分之，得通解,例1.4.3 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度 为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。,解: 采用球坐标系,分区域建立方程,参考点电位,图1.4.5 体电荷分布的球

14、形域电场,解得,电场强度（球坐标梯度公式）：,对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由 得到电场强度E的分布。,电位：,2. 唯一性定理的重要意义, 可判断静电场问题的解的正确性：,例1.4.1 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？,答案：（ C ）, 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。,图1.4.7 平板电容器外加电源U0,1.4.3 唯一性定理,证明： （反证法）,1.5 分离变量法,分离变量法是一种最经典的微分方程法，它适用于求解一类具有理想边

15、界条件的典型边值问题 。一般情况下,采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解，而只有当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。,1.5.1 解题的一般步骤：, 根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值 问题（微分方程和边界条件）；, 分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程；, 解常微分方程，并叠加各特解得到通解；, 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。,1.5.2 应用实例,1. 直角坐标系中的分离变量法（二维场）,例1.5.1 图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为 ，金属槽截面为正方形（边长为a），试求金属槽内电位的分布。,解：选定直角坐标系,（D域内）,（1）,（2）,（3）,（4）,(5）,边值问题,图11.5.1 接地金属槽的截面,2) 分离变量,代入式（1）有,根据 可能的取值，可有6个常微分方程：,设,称为分离常数,可以取值,3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。,4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。,图1.5.2 双曲函数,d）,比较系数法：,当 时，,（D域内）,当 时，, 满足拉普拉斯方程的通解有无数个，但