《高三数学备考冲刺140分问题04函数中的存在性与恒成立问题含解析(20200812113712)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学备考冲刺140分问题04函数中的存在性与恒成立问题含解析(20200812113712)（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、问题 04 函数中的存在性与恒成立问题 一、考情分析 函数内容作为高中数学知识体系的核心, 也是历年高考的一个热点. 在新课标下的高考越来越注重对学生的 综合素质的考察, 恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径, 它主要涉及到一次函数、二 次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识, 渗透着换元、化归、数 形结合、函数与方程等思想方法, 在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用, 故备受高考命题 者的青睐 ,成为高考能力型试题的首选. 二、经验分享 (1) 设)0()( 2 acbxaxxf, （ 1 ）Rxxf在0)(上 恒 成 立00且a
2、；（ 2 ） Rxxf在0)(上恒成立00且a. (2) 对于一次函数,)(nmxbkxxf有： 0)( 0)( 0)(, 0)( 0)( 0)( nf mf xf nf mf xf恒成立恒成立 (3) 根据方程有解求参数范围, 若参数能够分离出来, 可把求参数范围转化为求函数值域 (4) 利用分离参数法来确定不等式,0fx, （Dx,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基 本步骤 : 将参数与变量分离, 即化为gfx（或gfx）恒成立的形式； 求fx在xD上的最大（或最小）值； 解不等式 max ( )gf x( 或 min gfx) , 得的取值范围 . (5) 对于参数不能单独放在一侧的,
3、 可以利用函数图象来解. 利用数形结合解决恒成立问题, 应先构造函 数, 作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件, 求 出参数的范围. (6) 某些含参不等式恒成立问题, 在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数 的最值却难以求出时, 可考虑变换思维角度. 即把主元与参数换个位置, 再结合其它知识, 往往会取得出奇制 胜的效果 . 三、知识拓展 (1) 恒成立问题 . ?xD, 均有f(x)A恒成立 , 则f(x)minA； . ?xD, 均有f(x) A恒成立 , 则 f(x)ma xg(x) 恒成立 , 则F(x)=
4、f(x)- g(x) 0, F(x)min 0 ； . ?xD, 均有f(x) g(x) 恒成立 , 则F(x)= f(x)- g(x) 0, F(x) max g(x2) 恒成立 , 则f(x)min g(x)ma x； . ?x1D, ?x2E,均有f(x1) g(x2) 恒成立 , 则f(x) max A成立 , 则f(x) max A； . ?x0D, 使得f(x0) A成立 , 则 f(x) min g(x0) 成立 , 设F(x)= f(x)- g(x), F(x) max 0 ； . ?x0D, 使得f(x0) g(x0) 成立 , 设F(x)= f(x)- g(x), F(x)
5、 min g(x2) 成立 , 则f(x) max g(x) min； . ?x1D, ?x2E, 均使得f(x1) g(x2) 成立 , 则f(x) min g(x2) 成立 ,则f(x)m in g(x)min； ?x1D, ?x2 E, 使得f(x1) g(x2) 成立 ,则f(x) max g(x)max. 四、题型分析 解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：函数性质法；分离参数法；主参换位 法；数形结合法等. ( 一 ) 函数性质法 【例 1】已知函数f(x) x 3 ax 2 10, 若在区间 1,2 内至少存在一个实数x, 使得f(x)x310 中 x 21,4,
6、 所以可以进行参数分离, 而无需要分类讨论 【牛刀小试】 【2017 山西大学附中第二次模拟】设函数21 x fxexaxa,其中1a, 若存在唯一 的整数t, 使得0f t, 则a的取值范围是（） A 3 ,1 2e B 33 , 24e C 33 , 24e D 3 ,1 2e 【答案】 D 【解析】令21 , x g xexh xaxa. 由题意知存在唯一整数t, 使得g t在直线h x的下 方. 21 x gxex, 当 1 2 x时, 函数单调递减 , 当 1 2 x, 函数单调递增, 当 1 2 x时, 函数取得最 小值为 1 2 2e. 当0 x时,(0)1g, 当1x时,(1)
7、0ge, 直线h xaxa过定点1,0, 斜率为a, 故0ag且 1 13geaa, 解得 3 ,1 2 m e . ( 二) 分离参数法 【例 2】已知函数( )lnf xaxxx的图象在点ex（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3 (1) 求实数 a的值； (2) 若 2 ( )f xkx对任意0 x成立 , 求实数k的取值范围 . 【分析】 （1）由( )ln1fxax结合条件函数( )lnf xaxxx的图象在点ex处的切线的斜率为3, 可知(e)3f, 可建立关于a的方程：lne13a, 从而解得1a； （2）要使 2 ( )f xkx对任意0 x恒 成立 , 只需 max 2 (
8、 ) fx k x 即可 , 而由（1）可知( )lnf xxxx, 问题即等价于求函数 1ln ( ) x g x x 的最 大值 , 可以通过导数研究函数( )g x的单调性, 从而求得其最值： 22 1 (1 ln ) ln ( ) xx x x g x xx , 令 ( )0g x, 解得1x, 当01x时 ,( )0gx, ( )g x在(0,1)上是增函数；当1x时,( )0gx, ( )g x在(1,)上是减函数 , 因此( )g x在1x处取得最大值(1)1g, 1k即为所求 . (2) 由（ 1）知 ,( )lnf xxxx, 2 ( )f xkx对任意0 x成立 1ln x
9、 k x 对任意0 x成立 , 令 1ln ( ) x g x x , 则问题转化为求( )g x的最大值 , 22 1 (1 ln ) ln ( ) xx x x g x xx , 令( )0gx, 解得1x, 当01x时,( )0gx, ( )g x在(0,1)上是增函数； 当1x时,( )0gx, ( )g x在(1,)上是减函数 故( )g x在1x处取得最大值(1)1g, 1k即为所求 . 【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中, 当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与 其它变量完全分离出来并, 且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时, 常用分离参
10、 数法 . 此类问题可把要求的参变量分离出来, 单独放在不等式的一侧, 将另一侧看成新函数, 于是将问题转化 成新函数的最值问题. 利用分离参数法来确定不等式,0fx,（,xD为实参数） 恒成立中参数的取值范围的基本步骤: (1) 将参数与变量分离, 即化为gfx（或gfx）恒成立的形式； (2) 求fx在xD上的最大（或最小）值； (3) 解不等式 max gfx ( 或 min gfx) ,得的取值范围 . 【牛刀小试】 【2017 湖南省郴州市上学期第一次教学质量监测】已知函数 ( )log a f xx,( )2log (22) a g xxt, 其中0a且1a,tR (1) 若4t,
11、 且 1 ,2 4 x时,( )( )( )F xg xf x的最小值是 2, 求实数a的值； (2) 若01a, 且 1 ,2 4 x时 , 有( )( )f xg x恒成立 , 求实数t的取值范围 . 【答案】 (1) 1 5 ；(2)2,). (2) ( )( )f xg x恒成立 , 即log2log (22) aa xxt恒成立 , 1 loglog (22) 2 aa xxt. 又01a, 1 ,2 4 x, 22xxt, 22txx恒成立 , max ( 22)txx. 令 2 1171 222()(,2) 484 yxxxx, max 2y. 故实数t的取值范围为2,). (
12、三) 主参换位法 【例 3】 已知函数 ( )ln()( x f xea a为常数）是实数集R上的奇函数 , 函数 ( )sing xf xx是区间 1,1 上的减函 数,(1)求a的值； (2) 若 2 ( )11,1g xttx在 上恒成立 , 求t的取值范围 . 【分析】在第二小题所给条件中出现了两个字母：及t, 那么解题的关键恰恰就在于该把其中哪个字母看 成是一个变量, 另一个作为常数.而根据本题中的条件特征显然可将视作自变量 , 则上述问题即可转化为在 , 1 内关于的一次函数大于等于0 恒成立的问题 , 问题即可求解. 【解析】 (1) 1a (2) 由(1) 知：( )f xx,
13、( )sing xxx, ( )g xQ在 11， 上单调递减 , ( )cos0gxx cosx在 1 1，上恒成立 , 1， max ( )( 1)sin1g xg , 只需 2 sin11tt , 2 (1)sin110tt （其中 1）恒成立 , 由上述结论：可令 2 (1)sin110(1ftt）, 则 2 t10 1sin110tt , 2 1 sin10 t tt , 而 2 sin10tt 恒成立 ,1t. 【点评】某些函数存在性与恒成立问题中, 当分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量, 但函数的最值却难以求出时, 可考虑变换思维角度. 即把主元与参数换个位置
14、, 再结合其它知识, 往往会取得 出奇制胜的效果. 此类问题的难点常常因为学生的思维定势, 易把它看成关于的不等式讨论, 从而因计算繁 琐出错或者中途夭折；若转换一下思路, 把待求的x 为参数 , 以为变量 , 构造新的关于参数的函数, 再来求 解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了. 【牛刀小试】若不等式 2 211xm x对任意1,1m恒成立 , 求实数x的取值范围 . 【答案】312x 【解析】 2 211xm x可转化为 2 1210m xx, 设 2 1210f mm xx, 则f m 是关于m的一次型函数 , 要使0fm恒成立 , 只需 2 2 120 1220 fxx
15、fxx , 解得312x. ( 四) 数形结合法 【例 4】已知函数 2 22fxxkx , 在 1x 恒有 fxk, 求实数k的取值范围 . 【分析】 为了使题中的条件 fxk在 1,x 恒成立 , 应能想到构造出一个新的函数 F xfxk,则可 把原题转化成所构造新的函数在区间 1, 时恒大于等于 0的问题 , 再利用二次函数的图象性质进行分类讨 论, 即可使问题得到圆满解决. 【点评】如果题中所涉及的函数对应的图象、图形较易画出时, 往往可通过图象、图形的位置关系建立不等 式从而求得参数范围. 解决此类问题经常要结合函数的图象, 选择适当的两个函数, 利用函数图像的上、下 位置关系来确定
16、参数的范围. 利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数, 准确做出函数的图象. 常见的 有两类函数： 若二次函数 2 0yaxbxc a大于 0 恒成立 , 则有 0 0 a , 同理 ,若二次函数 2 0yaxbxc a 小于 0 恒成立 , 则有 0 0 a .若是二次函数在指定区间上的恒成立问题, 还可以利用韦达定理以及根与系数的 分布知识求解. 【牛刀小试】 【2017 河北省武邑上学期第三次调研考试】已知定义在 R上的奇函数fx 满足 : 当0 x 时, 3 fxx, 若不等式 2 42ftfmmt对任意实数t恒成立 , 则实数m的取值范围是（） A ,2 B2,0 C. ,02, D,22, 【答案】 A ( 五) 存在性之常用模型及方法 【例 5】 设函数 21 ln 2 a fxaxxbx,aR且1a. 曲线yfx在点
