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1、-九年级数学资料解直角三角形(很好-很全-很详细) 作者： 日期： 25.3-25.4 解直角三角形及其应用【学习目标】1、 理解解直角三角形的意义，会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题。2、了解测量中的概念，并能灵活应用相关知识解决某些实际问题，而在将实际问题转化为直角三角形问题时，怎样合理构造直角三角形以及如何正确选用直角三角形的边角关系是本节难点，也是中考的热点3、正确地建立解直角三角形的数学模型以及熟悉测量，航海，航空，工程等实际问题中的常用概念是解决这类问题的关键 （1）准确理解几个概念：仰角，俯角；坡角；坡度；方位角 （2）将实际问题抽象为数学问
2、题的关键是画出符合题意的图形 （3）在一些问题中要根据需要添加辅助线，构造出直角三角形，从而转化为解直角三角形的问题【主要概念】【1】勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。 【2】如下图，在RtABC中，C为直角，则A的锐角三角函数为(A可换成B)：定 义表达式取值范围关 系正弦(A为锐角)余弦(A为锐角)正切(A为锐角) (倒数)余切(A为锐角) 对边邻边斜边ACB【3】任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 【4】任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 【5】0、30、45、60、90特殊角的三角函
3、数值三角函数030456090011001-10【6】解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角。依据：边的关系：；角的关系：A+B=90；边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)【7】应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 (2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。【8】从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45、135、225。【9】指北或指南方向线
4、与目标方向 线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30（东北方向） ， 南偏东45（东南方向），南偏西60（西南方向）， 北偏西60（西北方向）。 【概念填空】【1】解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_叫做解直角三角形【2】解直角三角形的类型：已知_；已知_ 【3】如图（1）解直角三角形的公式： （1）三边关系：_ （2）角关系：A+B_， （3）边角关系：sinA=_，sinB=_，cosA=_ cosB=_，tanA=_ ，tanB=_ 【4】如图（2）仰角是_,俯角是_ 【5】如图（3）方向角：OA：_，OB：_，OC：_，OD
5、：_【6】如图（4）坡度：AB的坡度iAB_，叫_，tani_OABC来源:学+科+网 （图2） （图3） （图4）【典型例题】EABCD150图1h【例1】图1是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，ABC=150，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）A mB4 m来源:Z+xx+k.ComC mD8 m【例2】如图2,长方体的长为15，宽为10，高为2 0，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ） A. B. C. 10 D. 图25米AB图3【例3】如图3，先锋村准备在
6、坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）A. B. C. D. BCA图4【例4】如图4，在中，90，则下列结论正确的是（ ）ABC D来源:学科网【例5】如图5，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）A5m B6m C7m D8m【参考答案】例1、B【解析】过点B作直线AB的垂线，垂足为E，在RtBCE中，sinCBE=，即sin30=，所以h=4m. 【点评】作垂线构造直角三角形，因为知道斜边长，所以利用已知锐角的正弦关系解答即可.本题还
7、可以利用“直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半”来求解.例2、 B【解析】根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，较短爬行路线有以下4条（红色线段表示）.计算可知最短的是第2条.【点评】在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形（即表面展开图）来解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论.例3、B【解析】利用锐角三角函数解答，在以AB为斜边的直角三角形中，cos，所以AB=.【点评】在直角三角形中，根据已知边、角和要求的边、角确定函数关系.例4、 D 【解析】此题考查了特殊角的三角函数值.由已知可知A=30，B=60，对
8、照30、60的三角函数值选择正确答案. 【点评】熟记特殊角30、45、60的三角函数值是解题的关键.本题也可以通过勾股定理计算出AC，然后根据锐角三角函数定义判断.例5、A 【解析】考查了勾股定理和坡度的定义.坡度即坡比是铅直高度与水平宽度的比，在这里设铅直高度为h米，则有h:4=0.75，h=3，利用勾股定理得相邻两树间的坡面距离为=5m.【点评】在理解坡度、坡面距离、水平距离等概念的基础上，通过直角三角形的知识来解答.【例6】长为m的梯子搭在墙上与地面成45角，作业时调整成60角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 _m 【答案】 （约0.64）.【解析】涉及知识点有锐角三角函数的应用.
9、4m的梯子、地面和墙高构成了直角三角形，当梯子搭在墙上与地面成45的角时，梯子的顶端到地面的距离是4sin45=2，当梯子搭在墙上与地面成60的角时，梯子的顶端到地面的距离是4sin60=2.则梯子的顶端沿墙面升高了 （约0.64）m【点评】把立体图形转化为平面图形即直角三角形，利用锐角三角函数或勾股定理解答即可.【例7】如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B村到公路l的距离BD=2km，B村在A村的南偏东45方向上（1）求出A，B两村之间的距离；北东BACDl（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用
10、尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）【分析】（1）设AB与CD的交点为O，那么三角形AOC和BOD是两个等要直角三角形，根据A、B到公路的距离，利用勾股定理计算AO、BO，进而计算AB的长度.或者以AB为斜边构造直角三角形解答.（2）作AB的垂直平分线，与公路l的交点即为所求.【答案】解：（1）方法一：设AB与CD的交点为O，根据题意可得和都是等腰直角三角形，两村的距离为（km）方法二：过点作直线的平行线交的延长线于易证四边形是矩形，来源:学.科.网Z.X.X.K在中，由，可得（km）BACDlNMOP两村的距离为km（2）作图正确，痕迹清晰作法：分别以点为圆心，以大
11、于的长为半径作弧，两弧交于两点，作直线；直线交于点，点即为所求【点评】（1）点到线的距离是垂线短的长，所以图形中就包含了直角三角形，然后利用勾股定理计算便是.本题也可以利用锐角三角函数计算.（2）“到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”把握这个特征是找出确切位置的基础.【例8】如图，小颖利用有一个锐角是30的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m BAEDC30（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） A（）m B（）m C m D4m【答案】A【例9】如图，在等腰RtABC中，C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tanDBA=，则AD的长为（A） 2 （B） （C） （D）1 【答案】A 【例10】已知在中，设，当是最小的内角时，的取值范围是ABCD【答案】A【例11】如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC的度数为A90 B60 C45 D30【答案】C 【例12】如图，已知一商场自动扶梯的长z为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为，则tan的值等于()【答案】A 【例13】如图，矩形ABCD中，ABAD，AB=a，AN平分DAB，DMAN于点M，CNAN于点N则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）()（第9题） Aa B
