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1、轴对称、平移与旋转全章复习与巩固-知识讲解(提高) 作者： 日期：轴对称、平移与旋转全章复习与巩固-知识讲解（提高）【学习目标】1.了解轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；3.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用；4.掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、平移变换1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移
2、不改变图形的形状和大小要点诠释：（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据2平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等要点诠释：（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而
3、正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据要点二、旋转变换1旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.旋转变换的性质图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.旋转作图步骤分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.分析所作图形，找出构成图形的关键点.沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和
4、旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. 按原图形连结方式顺次连结各对应点.中心对称与中心对称图形中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形.5中心对称作图步骤 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点. 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.要点诠释：图形变换与图案设计的基本步骤确定图案的设计
5、主题及要求；分析设计图案所给定的基本图案；利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；对图案进行修饰，完成图案.要点三、轴对称变换1轴对称与轴对称图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点.轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.2轴对称变换的性质关于直线对称的两个图形是全等图形.如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.两个图形关于某直线对称，如果它
6、们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.3轴对称作图步骤找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的要点四、图形的全等1. 全等图形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等图形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前
7、后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.2. 全等多边形 （1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角. （2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等. （3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等.3. 全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.（1）全等三角形的性质全等三角形的对应边、对应角分别相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.（2）全等三角形的判定如果两个全等三角形的边、角分别对应相等，那么这
8、两个全等三角形全等.【典型例题】类型一、平移变换1. 阅读理解题（1）两条直线a，b相交于一点O，如图，有两对不同的对顶角；（2）三条直线a，b，c相交于点O，如图，则把直线平移成如图所示的图形，可数出6对不同的对顶角；（3）四条直线a，b，c，d相交于一点O，如图，用（2）的方法把直线c平移，可数出 对不同的对顶角；（4）n条直线相交于一点O，用同样的方法把直线平移后，有 对不同的对顶角；（5）2013条直线相交于一点O，用同样的方法把直线平移后，有 对不同的对顶角【思路点拨】（3）画出图形，根据图形得出即可；（4）根据以上能得出规律，有n（n-1）对不同的对顶角；（5）把n=2013代入求
9、出即可【答案与解析】解：（3）如图有12对不同的对顶角，故答案为：12 （4）有n（n-1）对不同的对顶角， 故答案为：n（n-1）；（5）把n=2013代入得：2013（2013-1）=4050156， 故答案为：4050156【总结升华】本题考查了平移与对顶角的应用，关键是能根据题意得出规律2操作与探究：对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段AB，其中点A，B的对应点分别为A，B如图1，若点A表示的数是-3，则点A表示的数是_；若点B表示的数是2，则点B表示的数是_
10、；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E与点E重合，则点E表示的数是_ 【思路点拨】（根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A，设点B表示的数为a，根据题意列出方程求解即可得到点B表示的数，设点E表示的数为b，根据题意列出方程计算即可得解；【答案】0；3；.【解析】解：点A：-3+1=-1+1=0，设点B表示的数为a，则a+1=2，解得a=3，设点E表示的数为b，则b+1=b，解得b=；故答案为：0；3；.【总结升华】耐心细致的读懂题目信息是解答本题的关键举一反三： 【变式】如图，面积为12cm2的ABC沿BC方向平移至DEF的位置，平移距离是边BC长的两倍，则图中四
11、边形ACED的面积为（ ） A24cm2 B36cm2 C48cm2 D无法确定 【答案】B.四边形ABED是平行四边形且S四边形ABED=S四边形ACFD，而S四边形ACED=S四边形ABED-SABC类型二、旋转变换3正方形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，F是OB上一点，且OE=OF，回答下列问题：（1）在图中1，可以通过平移、旋转、翻折中的哪一种方法，使OAF变到OBE的位置请说出其变化过程（2）指出图（1）中AF和BE之间的关系，并证明你的结论（3）若点E、F分别运动到OB、OC的延长线上，且OE=OF（如图2），则（2）中的结论仍然成立吗？若成立，请证明你的结论
12、；若不成立，请说明你的理由【思路点拨】（1）根据图形特点即可得到答案；（2）延长AF交BE于M，根据正方形性质求出AB=BC，AOB=BOC，证AOFBOE，推出AF=BE，FAO=EBO，根据三角形内角和定理证出即可；（3）延长EB交AF于N，根据正方形性质推出ABD=ACB=45，AB=BC，得到ABF=BCE，同法可证ABFBCE，推出AF=BE，F=E，FAB=EBC，得到E+FAB+BAO=90即可【答案与解析】解：（1）旋转，以点O为旋转中心，逆时针旋转90度（2）图（1）中AF和BE之间的关系：AF=BE；AFBE 证明：延长AF交BE于M，正方形ABCD，ACBD，OA=OB，
13、AOB=BOC=90，在AOF和BOE中AOFBOE（SAS），AF=BE，FAO=EBO，EBO+OEB=90，FAO+OEB=90，AME=90，AFBE，即AF=BE，AFBE （3）成立；证明：延长EB交AF于N，正方形ABCD，ABD=ACB=45，AB=BC，ABF+ABD=180，BCE+ACB=180，ABF=BCE，AB=BC，BF=CE，ABFBCE，AF=BE，F=E，FAB=EBC，F+FAB=ABD=45，E+FAB=45，E+FAB+BAO=45+45=90，ANE=180-90=90，AFBE，即AF=BE，AFBE【总结升华】本题主要考查对正方形的性质，全等三角
14、形的性质和判定，三角形的内角和定理，旋转的性质等知识点的连接和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键4. 如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，E是BA延长线上一点，且AE=AB你认为可以通过平移、轴对称、旋转中的哪一种方法使ABF变到ADE的位置？若是旋转，指出旋转中心和旋转角线段BF和DE之间有何数量关系？并证明 【思路点拨】（1）把ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90可得到ADE；（2）根据正方形的性质得到AB=AD，BAF=EAD，又F是AD的中点，AE=AB，则AE=AF，根据旋转的定义得到ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90时，AB旋转到AD，AF旋转到AE，于是有BF=DE【答案与解析】解：（1）可以通过旋转使ABF变到ADE的位置，即把ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90可得到ADE；（2）线段B
