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1、直角三角形,第1章,.,直角三角形的 性质和判定(),1.2,如图1-9, 在方格纸上(设小方格边长为单位1) 画一个顶点都在格点上的直角三角形, 使其两直角边分别为3, 4, 量出这个直角三角形斜边的长度.,A,B,C,a=3,b=4,c=?,量得c=5.,图1-9,在方格纸上, 以类似图1-9 中的RtABC 的三边为边长分别向外作正方形,得到三个大小不同的正方形, 如图1-10-1,并填表.,为了求S3, 可以先算出红色区域内大正方形的面积, 再减去4 个小三角形的面积.,1 4 5,图1-10-2,S2,S1,S3,9 16 25,S1,S2,S3,观察表格,三个正方形的面积S1、S2
2、、S3之间有怎样的数量关系呢?,S1,S1+ S2= S3 .,9 25 34,.,在图1-10 中, S1 + S2 = S3 , 即BC2 + AC2 = AB2 ,那么是否对所有的直角三角形,都有两 直角边的平方和等于斜边的平方呢?,图1-10,S2,S1,S3,A,C,B,.,如图1-11, 任作一个RtABC, C= 90, 若BC= a,AC= b, AB= c, 那么a2+ b2= c2是否成立呢?,a,c,b,.,步骤 先剪出4 个如图1-11 所示的直角三角形, 由于每个直角三角形的两直角边长为a, b (其中b a), 于是它们全等(SAS), 从而它们的斜边长相等. 设斜
3、边长为c.,步骤2 再剪出1 个边长为c 的正方形, 如图1-12所示.,.,步骤3 把步骤1 和步骤2 中剪出来的图形拼成 如图1-13的图形.,思考:如何说明拼出的图形是正方形?,图1-13,.,直角三角形两直角边a, b的平方和, 等于斜边c的平方. a2 + b2 = c2,.,勾股定理的证法历史上有很多,比较著名的有毕达哥拉斯证法,有趣的总统证法(美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法),希望有兴趣的同学课下查找资料.,.,其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的上述性质, 由于古人称
4、直角三角形的直角边中较短的一边为勾, 较长的一边为股, 斜边为弦(如图1-14), 因此这一性质被称为勾股定理.,图1-14,.,勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. 在直角三角形中,若已知直角三角形任意两条边长,我们可以根据勾股定理求出第三边的长.,.,例1 如图1-15, 在等腰三角形ABC 中, 已知 AB = AC = 13 cm, BC = 10 cm, ADBC 于点D. 你能算出BC边上的高AD的长吗?,举 例,.,解: 在ABC中, AB=AC=13,BC=10,ADBC, ,在RtADB中, 由勾股定理得,AD2+BD2=AB2 , 故AD的长为12cm.,.,在RtAB
5、C中, C= 90. (1) 已知a = 25, b = 15, 求c;,(2) 已知a = 5, c = 9, 求b;,(3) 已知b = 5, c = 15, 求a.,.,如图1-16, 电工师傅把4 m 长的梯子AC 靠在 墙上, 使梯脚C 离墙脚B 的距离为1.5 m, 准备在墙上安装电灯. 当他爬上梯子后, 发现高度不够,于是将梯脚往墙 脚移近0.5 m, 即移动到C处. 那么, 梯子顶端是否往上移动0.5 m 呢?,动脑筋,图1-16,.,由图1-16 抽象出示意图1-17. 在RtABC 中,计算出AB; 再在RtABC中, 计算出AB, 则可得出梯子往上移动的距离为(AB -
6、AB) m.,分析,A,.,在RtABC中, AC = 4 m, BC = 1.5 m, 由勾股定理得,,在RtABC中, AC = 4 m, BC = 1 m, 故,因此AA = 3.87 - 3.71 = 0.16 (m). 即梯子顶端A点大约向上移动了0.16 m, 而不是向上移动0.5 m.,A,.,例1 (“引葭赴岸” 问题) “今有方池一丈, 葭生其中央, 出水一尺, 引葭赴岸, 适与岸齐. 问水深, 葭长各几何?” 意思是: 有一个边长为10 尺的正方形池塘, 一棵芦苇生长在池的中央, 其出水部分为1 尺. 如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边, 它的顶端恰好碰到池边的水面.
7、问水深与芦苇长为多少?,举 例,.,分析,根据题意, 先画出水池截面示意图, 如图1-18. 设AB 为芦苇, BC 为芦苇出水部分, 即1 尺, 将芦苇拉向岸边, 其顶部B点恰好碰到岸边B.,宋刻九章算术书影,.,解: 在如图1-18,设水池深为x尺, 则AC=x尺,AB=AB=(x+1)尺.,因为正方形池塘边长为10尺,所以BC=5尺. 在RtACB中,由勾股定理,得 x2+52=(x+1)2 解得 x=12 则芦苇长为13尺. 答:水池的深度为12尺,芦苇长13尺.,.,1. 如图, 一艘渔船以30 海里/h 的速度由西向东追赶鱼群. 在A 处测得小岛C 在船的北偏东60方向; 40 m
8、in 后, 渔船行至B 处, 此时测得小岛C 在船的北偏东30方向. 已知以小岛C 为中心, 周围10 海里以内有暗礁, 问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险?,.,D,.,解:过点C作CDAB,垂足为D,,依题意,CBD=60,CAD=30,,由于CD长大于10海里,所以轮船由西向东航行没有触礁危险.,D,CAD=ACB=30 , AB=BC= (海里) ,,在RtCBD中,BCD=30,,.,2. 如图, AE 是位于公路边的电线杆, 高为12 m, 为了使电线CDE 不影响汽车的正常行驶, 电力部门在公路的另一边竖立了一根高为6 m 的水泥撑杆BD, 用于撑起电线. 已知两根杆子之
9、间的距离为8 m, 电线CD 与水平线AC 的夹角为60. 求电线CDE 的总 长L (A,B, C 三点在同一 直线上, 电线杆、水泥杆的 粗细忽略不计).,.,E,A,B,C,D,F,.,E,A,B,C,D,F,解:过点D作DFAE,垂足为F,,依题意BCD=60, AB=DF=8m, AF=BD=6m, FE=6m.,在RtDEF中,由勾股定理, 得,在RtDBC中,CDB=30, 设BC=x,DC=2x,由勾股定理得,x2+62=(2x)2 解得 x=,.,据周髀算经记载,西周开国时期(约公元前1000多年)有个叫商高的人对周公说,把一根直尺折成直角,两端连接得一直角三角形。如果勾是3
10、,股是4,那么弦是5,这就是商高发现的“勾股定理”.因此在中国,勾股定理又被称作“商高定理”,在西方国家,勾股定理又“Pythagoras(毕达哥拉斯)定理”.但毕达哥拉斯发现这一定理的时间要比商高迟得多,可见我国古代人民对人类杰出的贡献.,.,1955年的 希腊邮票,“赵爽弦图”为2002年在北京召开的国际数学家大会的会标.,.,西班牙教材中的勾股定理,他们称之为“毕达哥拉斯定理”.,.,香港教材中的勾股定理 仍然沿用着西方的名称毕氏定理.,.,如图,等腰ABC中,AB=AC,AD是底边上的高,若AB=5cm,BC=6cm,AD=_cm.,4,.,解:AB=AC=5cm,BC=6cm,ADBC, ,在RtADB中, 由勾股定理得,AD2+BD2=AB2, 故AD的长为4cm.,.,例2,如图,RtABC中,C=90,AD平分CAB,DEAB于E,若AC=6,BC=8,CD=3 (1)求DE的长; (2)求ADB的面积,A,C,E,D,B,解(1) AD平分CAB, DEAB,C=90, CD=DE=3. (2)在RtABC中,由勾股定理得,,.,1.这节课我们从知识上有哪些收获?,2.从研究方法上你有哪些收获?,.,结 束,单位:稳坪中学 姓名:安伟,