《北师大版2021高考数学一轮复习统考第8章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积学案含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版2021高考数学一轮复习统考第8章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积学案含解析（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2讲空间几何体的表面积和体积基础知识整合1多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l3柱、锥、台和球的表面积和体积 名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4r2Vr31与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的
2、体积相等2几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2Ra；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2Ra.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R.(3)直棱柱的外接球半径可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，可知球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径(4)设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径ra，外接球半径Ra.正四面体的外接球与内切球的半径之比为31. 1(2019福州二模)设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该
3、西瓜的体积为()A100 B. C. D.答案D解析由题意知切面圆的半径r4，球心到切面的距离d3，所以球的半径R5，故球的体积VR353，即该西瓜的体积为.2(2019安徽蚌埠质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为()A B2 C2 D22答案A解析由三视图可知，该几何体由半个圆柱和一个三棱锥组合而成故该几何体的体积为122222.3(2018浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A2 B4 C6 D8答案C解析由三视图知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，即如图所示四棱柱A1B1C1D1ABCD.
4、由三视图中的数据可知底面梯形的两底分别为1和2，高为2，所以S底面(12)23.因为直四棱柱的高为2，所以体积V326.故选C.4(2019北京东城区模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A2 B4C22 D5答案C解析该三棱锥的直观图如图所示，过点D作DEBC，交BC于点E，连接AE，则BC2，EC1，AD1，ED2，S表SBCDSACDSABDSABC2211222.故选C.5如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为，则球的表面积和体积分别为_，_.答案3636解析底面中心与C的连线即为半径，设球的半径为R，则R2()2()29.所以
5、R3，所以S球4R236，V球R336.6如图所示，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA平面ABC，ABBC，DAABBC，则球O的体积等于_答案解析由题意知，DC边的中点就是球心O，它到D，A，C，B四点的距离相等，球的半径RCD，又ABBC，AC，CD3，R，V球O3.核心考向突破考向一几何体的表面积 例1(1)(2019衡水模拟)如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是()A44 B244C242 D224答案B解析由几何体的三视图可知，该几何体是由半圆柱与三棱柱组成的几何体，其直观图如图所示，其表面积S21211221(2)221244.故选B.(2)(2019郑州二模)
6、如图是某几何体的三视图，图中方格的单位长度为1，则该几何体的表面积为_答案84解析由三视图，知该几何体为三棱锥，将该几何体放在长方体中如图所示，由题意可知长方体的长、宽、高分别为2,2,4，由BC2，CD2计算，得BD2，AD2，AB2，所以SBCD222，SADC222，SABC222，因为ABD为等腰三角形，高为3，所以SABD236，所以该几何体的表面积为222684.几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和 (2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和 (3)简单组合体：应弄清各构成部分，并注意重合部分的删、补 (4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三
7、视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系即时训练1.(2019山东潍坊模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A20 B24 C28 D32答案C解析由三视图可知该几何体为组合体，上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥的底面半径为3，高为4，则该几何体的表面积S323521228.故选C.2(2019河北承德模拟)某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为()A842 B644C622 D822答案C解析由三视图可知，该几何体为放在正方体内的四棱锥EABCD，如图
8、，正方体的棱长为2，该四棱锥底面为正方形，面积为4，前后两个侧面为等腰三角形，面积分别为2，2，左右两个侧面为直角三角形，面积都为，可得这个几何体的表面积为622，故选C.精准设计考向，多角度探究突破考向二几何体的体积角度1补形法求体积例2(1)(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90 B63 C42 D36答案B解析(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的
9、体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V32432663.故选B.(2)(2019北京高考)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为_答案40解析由题意知去掉的四棱柱的底面为直角梯形，底面积S(24)226，高为正方体的棱长4，所以去掉的四棱柱的体积为6424.又正方体的体积为4364，所以该几何体的体积为642440.角度2分割法求体积例3(1)(2019山西五校联考)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩
10、形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为()A5000立方尺 B5500立方尺C6000立方尺 D6500立方尺答案A解析该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥FGBCH与三棱柱ADEGHF的体积之和又可以将三棱柱ADEGHF割补成高为EF，底面积为S31(平方丈)的一个直棱柱，故该楔体的体积V22315(立方丈)5000(立方尺)故选A.(2)(2019浙江高考)祖暅是我国南北朝时代
11、的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A158 B162 C182 D324答案B解析如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S3327，因此，该柱体的体积V276162.故选B.角度3转化法求体积例4(1)如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，AA16.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，
12、则三棱锥AA1EF的体积是_答案8解析由正三棱柱的底面边长为4，得点F到平面A1AE的距离(等于点C到平面A1ABB1的距离)为42，则V三棱锥AA1EFV三棱锥FA1AESA1AE26428.(2)在三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V1，三棱锥PABC的体积为V2，则_.答案解析如图所示，由于D，E分别是边PB与PC的中点，所以SBDESPBC.又因为三棱锥ABDE与三棱锥APBC的高相等，所以.(1)处理体积问题的思路 (2)求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或
13、者把不规则的几何体补成规则的几何体、不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任何一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换即时训练3.(2019河北沧州质检)九章算术是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是()A50 B75 C25.5 D37.5答案D解析如图，由题意及给定的三视图可知，剩余部分是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥C1MNB1A1所得的，且直三棱柱的底面是腰长为5的等腰直角三角形，高为5.图中几何体ABCC1MN为剩余部分，因为AM2，B1C1平面MNB1A1，所以剩余部分的体积VV三棱柱A1B1C1ABCV四棱锥C1A1B1NM555
