07高考新趋势与数学复习要领

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1、07高考新趋势与数学复习要领,王林全 华南师范大学 数学科学学院,报告主要内容,数学新课程主干内容分析； 大纲，课标，考纲的异同点分析； 文科，理科教学要求异同点分析； 年高考趋势的分析与估计； 相关的教学与复习对策,数学函数与基本初等函数,幂函数， 用二分法求方程近似解缌 函数模型及其应用； 对于分段函数要求学生能掌握和应用； 要求对分段函数的理解和运用 ,对于反函数降低了教学要求，只是把指数函数和对数函数作为反函数的具体例子， 不要求学生掌握反函数的一般定义，也不要求求某个函数的反函数。,平面解几初步，立体几何初步,增加了空间直角坐标系，简单几何体的三视图，要求掌握柱、锥、台、球及其简单组

2、合体的特征性质； 降低要求的内容有三垂线定理，不把它作为定理提出，而只作为例题出现。 对于正棱锥和球的性质，从要求掌握，降低为不作要求。,算法是新增的必修内容,是数学及其应用的重要部分，又是计算机科学的重要基础； 了解算法的意义，利用逻辑框图表示解决问题的过程，理解逻辑框图的三种基本逻辑结构顺序、条件分支、循环； 掌握五种基本的算法语句：赋值语句、输入语句、输出语句、条件语句、循环语句。 统计增加了茎叶图，并要求了解最小二乘法的思想,三角函数，平面向量，三角变换,三角函数中，删减了知三角函数值求角； 在平面向量内容中删减了线段的定比分点公式，以及坐标平移公式等。 在三角恒等变换内容中，要求能推

3、导和、差、二倍角的正弦余弦正切公式，并能推导和差化积、积化和差以及半角公式等，但不要求记忆。,解三角形，数列，不等式,解三角形由初中移到高中，要求能用来解决实际问题； 不等式部分，减少了分式不等式； 数列部分，加强了函数观点的渗透，要求学生体会等差数列与一次函数，等比数列与指数函数的关系。,推理与证明要求的变化,选修，教学要求的变化,高中数学选考内容,高中数学学习的新要求,新课程倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学的学习方式。 设置了数学探究、数学建模、实习作业等学习项目。高中阶段至少安排较为完整的一次数学探究、一次数学建模活动， 根据课程内容与实际情境的联系，在统计、线性规划、视图等专

4、题，安排适当的实习作业。,主干知识和新增内容受到关注,高考数学试题注意涵盖高中代数，立体几何，平面解析几何,概率统计,平面向量与空间向量,导数及其应用等，它们是高中数学课程的主干知识。 函数的定义域,值域,单调性,奇偶性,函数符号的运用等有关知识，都是高中代数的主干知识之，历来受到重点考查。 空间向量,概率统计,导数及其应用等,是高中新课程的新增内容,将在高考中受到进一步关注.,函数概念是数学教育的灵魂,以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它的周围，进行充分的综合。” 高中数学课程设计中，把函数作为贯穿整个高中数学课程始终的主线，它也是高等数学的一条主线。 那末，应如何把握高中阶段函数的教学

5、？学生学完函数内容，应留下什么呢？,对函数概念的认识,函数是刻画变量之间依赖关系的模型。 函数是联结两类对象的桥梁。 用映射的观点刻画函数，它反映两个数集之间的关系，在两个数集之间架起一座桥梁。 函数可以用平面图形来表示。 函数是平面上点的集合，是一定范围内的一条曲线。,函数的变化反映了它所刻画的自然规律的特征,函数的变化反映了它所刻画的自然规律的特征 对于函数的单调性，从代数的角度看，就是一个变量随另一个变量的变化而变化的规律，从几何的角度看，就是研究函数图像走势的变化规律。,对单调性认识的两个阶段,第一阶段，要求理解单调性的图形直观，理解单调性的定义，通过大量的具体函数，理解单调性在研究函

6、数中的作用。 第二阶段，导数是描述函数变化率的概念，导数概念可以帮助我们对“函数的变化”有进一步了解。,周期性是函数的最基本的性质之一,学会用周期的观点来看待周围事物的变化是非常重要的。正余弦函数、正余切函数都是刻画周期变化的函数模型。 用周期的观点来研究函数，可以使我们集中研究函数在一个周期里的变化，在此基础上，就可以了解函数在整个定义域内的变化情况。 周期性反映了函数图形往复循环的性质。高中数学课程中，不讨论一般函数的周期性，只对基本的具体三角函数讨论其周期性，例如，正弦、余弦、正切函数的周期性。,奇偶性也是函数的重要性质,奇偶性反应了函数图形的对称性质，偶函数图形是关于y轴对称的，奇函数

7、图形是关于原点对称的。 奇偶性可以帮助我们更加准确和集中地研究函数的变化规律。 高中数学课程中，对于一般函数的奇偶性，不做深入讨论，只对基本的具体函数讨论其奇偶性，例如，简单幂函数的奇偶性。,掌握几个重要的函数模型,幂函数、指数函数、对数函数、三角函数是基本初等函数，这些函数是最基本的，也是最重要的。 还有简单的分段函数，一些有实际背景的函数，等等。这些都是基本的、重要的函数模型。,线性函数,线性函数y=ax+b可以经过变换化为最简单的幂函数，它把x轴变成了一条直线；它是函数关系中最常见的，也是最简单的； 在很多情况下，在研究比较复杂的函数时，我们常常用它在一点附近来近似表示复杂的函数，“以直

8、代曲”是微分的基本思想；在统计相关分析中，线性函数即线性关系是最基本的。,常见的幂函数,正整数指数幂函数y=xn也是简单的函数，也是好的函数。所谓好，是指它具有任意阶导数，非常的光滑。它们还有一个极为重要的性质，对于任意一个“好的函数”，都可以用整数指数幂函数的代数和来近似地表示，称为泰勒公式 高中要求掌握的幂函数是：， x， x，y=x， y=x,指数函数、对数函数是重要的函数模型,对数函数（底数大于1）、正整数指数幂函数（ x大于零）、指数函数（底数大于1），这三类函数都是随着自变量的增加而增加，但是，它们增长的速度是不同的； 对数函数最慢，正整数幂函数快一些，指数函数最快，在实际中，我们

9、常常分别称为：对数增长，多项式增长，指数增长。这些是刻画增长的最基本的模式。,三角函数是研究周期现象的重要模型,三角函数是刻画周期现象最基本的模型，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等等。现实生活中很多的周期现象都可以直接用这些三角函数表示。 三角函数也是最基本的周期函数，通过三角函数可以帮助我们更好地理解周期函数；三角函数也都是好的函数，具有任意阶导数；三角函数的代数和可以用来表示更多的函数。,平面向量及其正交分解,在向量的学习中，我们引入了“基”的概念，向量（1，0）和（0，1）就是标准正交基，平面上任意一个向量都可以唯一地用标准正交基表示。 如前面所说，对某些函数类，整数指数幂函数

10、和三角函数就能起到“基”的作用。,基本函数模型的教学要求,学生应该从三方面掌握： 图像，即从几何直观的角度把握函数的变化情况； 基本变化，即从代数的角度把握函数的变化情况，如，指数变化之所以快是因为指数运算将和变为积，对数变化之所以慢是因为对数运算将积变为和； 背景，即从函数模型的原型的角度把握函数的变化情况。,函数是高中数学的一条主线,函数作为主线，贯穿于整个高中数学课程中。 特别是在方程、不等式、线性规划、算法、随机变量等内容中都突出的体现了函数思想。,用函数的观点看待方程,解方程f(x)=0看成求函数y=f(x)的零点，求方程的解就变成了思考函数图形与x轴的相交关系，变成了考虑函数的局部

11、性质。 如果函数y=f(x)连续，且y=f(x) 在区间a,b两端点的值异号，即f(a) f(b)0，即方程f(x)=0在区间a,b内有解。如果函数具有这样的性质，我们就可以运用二分法近似的求出方程的解。,例：判断方程x2x6=0的根的存在性。,函数与不等式,函数y=f(x) 的图象把坐标平面分成三部分（这里假设函数的定义域是全体实数）：函数图象自身，即；函数图象以上的部分，即；函数图象以下的部分，即。再加上x轴，就把坐标平面分成若干区域。 解不等式就是确定对应于某个区域的x的范围。 可以根据函数的图象，函数图象与x轴的交点（方程f(x)=0的解）等来解不等式。因此，不等式也是函数的局部性质。

12、,函数与线性规划,在讨论线性规划问题时，有两个关键环节，一个是对可行域（目标函数的定义域）的理解，另一个认识目标函数的变化趋势。 解线性规划问题，可归结为以下算法： 第一步，确定目标函数； 第二步，确定目标函数的可行域； 第三步，确定目标函数在可行域内的最值。,线性规划的应用问题,例2 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元。若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质，试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？,约束条件与目标函数,如上例，设甲、乙两种原料分

13、别用为10 x, 10y (单位：g),所需费用为z (单位：元), 则约束条件为 目标函数为,数列是特殊的离散型函数。,它的定义域一般是指非负的正整数，有时也可以为自然数集，或其无限子集。 数列通常称为离散函数，离散函数是相对定义域为实数或者实数的区间的函数而言的。 等差数列、等比数列是最基本的数学模型，在我们日常经济生活中几乎许多经济问题都可以归结为等差数列、等比数列模型。,高中数学第二主线几何主线,几何研究的图形可分为两类，一类是直边或直面图形，例如，直线，由直线围成的三角形，由平面围成的四面体、长方体等；另一类是曲边或曲面图形，例如，圆，球等。 在中学几何中，基本几何图形点、线、面之间

14、的位置关系主要有平行、垂直、包含（如点在直线上，线在平面内，线与线、面与面重合等），由基本图形围成的平面图形之间的关系主要有全等、相似、位似等。图形的度量主要有夹角、长度、面积、体积等。,几何研究图形的方法,中学几何研究图形的方法主要有： 综合几何的方法， 解析几何的方法， 向量几何的方法， 函数的方法等。,几何的方法研究图形的性质,复杂的图形转化为简单的图形，把空间的图形转化为平面图形。 空间两直线的垂直问题转化为平面上两直线的垂直（如，三垂线定理）， 利用三视图研究空间几何体等。 在综合几何方法中，平移、旋转、对称等是研究图形性质的基本方法。,解析几何方法是用代数方法研究几何图形的性质,用

15、解析几何方法研究图形，首先要建立坐标系，建立起“点”与“数对”之间的一一对应关系。 然后，建立几何图形与方程之间的联系。 再通过用代数的方法研究方程来实现研究几何图形性质的目的。 同一个几何图形，由于建立坐标系时坐标原点的选择不同，在不同坐标系下的方程的代数表现形式是不同的。,向量几何的方法,就是用向量及其运算来研究几何图形的位置关系和度量问题。 首先用向量及其运算表示几何图形，例如，用向量表示点，用两个不共线向量的线性组合表示平面，用向量数量积表示由一个点和一个法向量确定的平面等。 然后，利用向量的运算性质来研究几何图形的位置关系和度量。,几何是培养数学能力的载体,把数学所特有的逻辑思维和形

16、象思维有机地结合起来。 几何思想主要体现在几何直观能力，即把握图形的能力。 包括空间想象力、直观洞察力、用图形的语言来思考问题的能力。借助几何这个载体，可以培养学生的逻辑推理能力。,解析几何重点是帮助学生理解数形结合的基本思想,建立起“点”与“数对”之间的一一对应关系，形成一座代数与几何之间的桥梁。、另一个主要思想是建立方程与曲线之间的联系。 帮助学生初步形成如下的观念：可以用“方程”表示“曲线”，反之，“曲线”是“方程”的图像。,选修1、2设立圆锥曲线与方程,宇宙中，物体的运动轨迹大多可以用圆锥曲线近似的表示； 几乎所有的光学仪器都是圆锥曲线（面）的应用。这些都是圆锥曲线不可替代的理由。 研究圆锥曲线有两种方法，综合几何的方法和解析几何的方法。高中数学课程中选择解析几何的方法。 高中对圆锥曲线的讨论是初步的，主要目的是进一步理解解析几何的思想。,向量有代数与几何的双重性质,向量可以用来表示空间中的点、线、面。 以坐标系的原点为起点，向量就与空间中的点建立了一一对应关系； 一点和一个非零向量可以唯一确定一条直线，它通过这个点且与给定向量平行； 一个点和一个非零向量，可以唯一确定