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1、第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系基础知识整合1平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2用集合语言描述点、线、面间的关系(1)点与平面的位置关系：点A在平面内记作A，点A不在平面内记作A.(2)点与直线的位置关系点A在直线l上记作Al，点A不在直线l上，记作Al.(3)线面的位置关系：直线l在平面内记作l，直线l不在平面内记作l.(4)平面与平面相交于直线a，记作a.(5)直线l与平面相交于点A，记作lA.(6)直线a与直
2、线b相交于点A，记作abA.3直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)空间平行线的传递性公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行(3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补(4)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：(0，904空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交aA1个平行a0个在平面内a无数个平面与平面,平行个0个相交l, 无数个1公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面
3、；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面2异面直线判定的一个方法过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线 1若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是()AbBbCb或bDb与相交或b或b答案D解析b与相交或b或b都可以2(2019福州质检)已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件，故选A.3设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，
4、不正确的是()A若AC与BD共面，则AD与BC共面B若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C若ABAC，DBDC，则ADBCD若ABAC，DBDC，则ADBC答案D解析A，B，C，D构成的四边形可能为平面四边形，也可能为空间四边形，D不成立4已知异面直线a，b分别在平面，内，且c，那么直线c一定()A与a，b都相交B只能与a，b中的一条相交C至少与a，b中的一条相交D与a，b都平行答案C解析由题意易知，c与a，b都可相交，也可只与其中一条相交，故A，B均错误；若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知ab，与a，b为异面直线矛盾，D错误故选C.5设a，b，c是空间中的三条
5、直线，下面给出四个命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线上述命题中错误的是_(写出所有错误命题的序号)答案解析由公理4知正确；当ab，bc时，a与c可以相交、平行或异面，故错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故错误；a，b，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故错误故填.6(2019河南南阳模拟)如图，在四棱锥PABCD中，O为CD上的动点，VPOAB恒为定值，且PDC是正三角形，则直线PD与直线AB所成角的大小是_答案60解析因为VPOAB为定值，所以SABO为定
6、值，即O到线AB的距离为定值因为O为CD上的动点，所以CDAB.所以PDC即为异面直线PD与AB所成的角因为PDC为等边三角形，所以PDC60.所以直线PD与直线AB所成的角为60.核心考向突破考向一平面基本性质的应用例1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点证明(1)如图所示，连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFA1B.又A1BCD1，EFCD1.E，C，D1，F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，直线CE与直线D1F必相交，设交点为P.则由PCE，CE平面
7、ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE，D1F，DA三线共点1证明点或线共面问题的两种方法(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内； (2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合2证明点共线问题的两种方法(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；3证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点提醒：点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上即时训练1.如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，A
8、D的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设直线EG与直线FH交于点P.求证：P，A，C三点共线证明(1)E，F分别为AB，AD的中点，EFBD.在BCD中，GHBD，EFGH，E，F，G，H四点共面(2)由(1)知EF綊BD，GH綊BD.四边形FEGH为梯形，直线GE与直线HF交于一点，设EGFHP，PEG，EG平面ABC，P平面ABC.同理P平面ADC.P为平面ABC与平面ADC的公共点，又平面ABC平面ADCAC，PAC，P，A，C三点共线精准设计考向，多角度探究突破考向二空间两条直线的位置关系角度1两条直线位置关系的判定例2(
9、1)(2019全国卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则()ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线答案B解析如图，取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB，BD，BE.点N为正方形ABCD的中心，点N在BD上，且为BD的中点ECD是正三角形，EFCD.平面ECD平面ABCD，EF平面ABCD.EFFN.不妨设AB2，则FN1，EF，EN2.EMMD，DGGF，MGEF，MG平面ABCD，MGBG.MGE
10、F，BG ，BM.BMEN.BM，EN都是DBE的中线，BM，EN必相交故选B.(2)(2019贵州六盘水模拟)是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m，n，且Am，A，则m，n的位置关系不可能是()A垂直 B相交 C异面 D平行答案D解析是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，m，n，Am，A，n在平面内，m与平面相交，A是m和平面的交点，m和n异面或相交，也可能异面垂直或相交垂直，但一定不平行故选D.角度2异面直线的判定例3(2019许昌模拟)如下图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_答案解析中GHMN；中GMHN且GMHN，
11、所以直线GH与MN必相交；中直线GH与MN是异面直线即时训练2.(2019太原期末)已知平面和直线l，则内至少有一条直线与l()A平行 B相交 C垂直 D异面答案C解析直线l与平面斜交时，在平面内不存在与l平行的直线，A错误；当l时，在平面内不存在与l异面的直线，D错误；当l时，在平面内不存在与l相交的直线，B错误无论哪种情形在平面内都有无数条直线与l垂直故选C.3如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_(写出所
12、有正确结论的序号)答案解析因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故错；取DD1的中点E，连接AE，则BNAE，但AE与AM相交，故错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故正确；同理正确，故填.考向三异面直线所成的角例4(1)如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1AB1，则异面直线AB1与BD所成的角为_答案60解析取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE.在RtAB1E中，AB1E为异面直线AB1与BD
13、所成的角设AB1，则A1A，AB1，B1E，因为B1EA1C1，平面A1B1C1平面AA1C1C，平面A1B1C1平面AA1C1CA1C1，所以B1E平面AA1C1C，又AE平面AA1C1C，所以B1EAE，所以cosAB1E，故AB1E60.(2)正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是_答案60解析如图所示，连接A1B，可知A1BE1D，A1BC1是异面直线E1D与BC1所成的角连接A1C1，可求得A1C1C1BBA1，A1BC160，即侧面对角线E1D与BC1所成的角是60.求异面直线所成角的方法(1)求异面直线所成角的常用方法是平移法平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移 (2)求异面直线所成角的三步曲：“一作、二证、三求”一作：根据定义作平行
