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1、5.4 异方差性问题的解决方法 一、对原模型进行变换 设原模型为,(5.4.1),其中ui具有异方差性(其余假定都满足)。假定现在已知 (5.4.2) 其中k2为常数。现在的问题是经典假定遭到了破坏的 情况下，如何求出参数、的最佳线性无偏估计量?,解决这个问题的基本想法是对原模型(5.4.1)作适当 的变换，使变换后的随机项不再具有异方差，从而 可用OLS法求出参数的最佳线性无偏估计量。 用 去除(5.4.1)式两端，则得到新的模型：,(5.4.3),记,(5.4.4),则模型(5.4.3)变为,(5.4.5),(5.4.5)中的参数和即原模型中的参数，但是随 机项 已经没有异方差性了。因为：
2、,因此，对模型(5.4.5)应用OLS法，即可得出参数 、的最佳线性无偏估计量，问题得以解决。,例5.4.1 设模型(5.4.1)中ui的异方差结构为 (这是一种最常见的异方差结构)，求、的最佳 线性无偏估计量。,在本例中 ， ，用 xi 去除(5.4.1) 式各项，得,改写成,其中,由于变换后的模型中的随机项 已没有异方差， 应用OLS法得和的最佳线性无偏估计量：,二、加权最小二乘法(WLS) 在OLS法中，其基本原则是使残差平方和,(5.4.6),达到最小，这是对满足经典回归假定而言，也就 是在等方差的情况下进行的。当随机项具有异方差 时，用 作为i2的权数是合理的。,现在我们可以用权数将
3、普通最小二乘法修正为： 使加权残差平方和,(5.4.7),达到最小。这就是加权最小二乘法。 下面我们说明，这种加权最小二乘法同样可以消除 异方差性的影响。 设异方差是xi的函数,(5.4.8),将(5.4.8)代入(5.4.7)得加权最小二乘法，要求,(5.4.9),达到最小。 现在对原模型(5.4.1)作变换：,(5.4.3),对(5.4.3)应用普通最小二乘法，要求残差平方和：,(5.4.10),最小。显然，能使(5.4.10)达到最小的 也一定 能使(5.4.9)式达到最小，因为二者只差一个常数因子。 即两种方法得到的结果相同。两种方法实质上是一回 事。对原模型进行变换的方法实际上是加权
4、最小二乘 法当 时的特例，也可以看作是加权最小二乘法 的直接应用。,三、广义最小二乘法 ( GLS ) 广义最小二乘法是处理广义线性模型的一种估计方法。 广义线性模型是指线性模型 (5.4.11) 并且有,(5.4.12),其中 为未知常数，是一个已知的nn阶正定 对称矩阵：,(5.4.13),其它基本假定不变，称之为广义线性模型。 若将换成In，则模型(5.4.11)就变成一般古典线性模型。 由于为正定对称矩阵，必存在一个(nn)阶非奇异矩 阵P，使得,(5.4.14),且有,(5.4.15),利用矩阵P对原模型进行变换，用P左乘(5.4.11)得，,(5.4.16),令,(5.4.17),
5、则(5.4.16)变为,(5.4.18),此时,(5.4.19),可见，变换后的模型(5.4.18)，已满足全部基本假定， 可以对模型(5.4.18)应用普通最小二乘法，求得的 广义最小二乘估计量为,(5.4.20),将(5.4.17)代入(5.4.20),(5.4.20),(5.4.20)(或(5.4.20)称为广义最小二乘估计式。这种 将原模型(5.4.11)进行适当变换，变为模型(5.4.18)， 然后对新模型(5.4.18)应用普通最小二乘法，求得参数 估计量，称作对原模型的广义最小二乘法，记作GLS。,当 = In时，,(5.4.21),此时广义最小二乘法就是普通最小二乘法。 参数的
6、协方差矩阵,(5.4.22),(5.4.23),其中为广义最小二乘估计量所对应的模型(5.4.11) 的样本残差。,四、广义最小二乘法的应用之一 异方差问题的处理 设模型,(5.4.24),或,假定随机项存在异方差，即,(5.4.25),其余条件皆满足基本假定，此时u的方差协方差矩阵 具有对角形式：,(5.4.26),因为是对角阵，所以 是,(5.4.27),于是,(5.4.28),便有,(5.4.29),作变换,(5.4.30),则模型(5.4.24)变为,(5.4.31),此时U*已无异方差，可以应用OLS法，得到,(5.4.32),(5.4.33),以上结果中，都要用到，而的计算需要知道
7、 ， 因而Park、Glejser检验所得到的方差结构信息对应 用广义最小二乘法处理异方差问题至关重要。,上述结果，可以看作是我们把广义最小二乘估计量 中的 换成了 得出的结果。换句话说，是把异 方差问题作为广义线性模型的特例来处理的。这实 际上也是加权最小二乘估计的一种表达形式。 因为对模型(5.4.31)应用OLS法是使,(5.4.34),达到最小。将原数值(5.4.30) 代入(5.4.34)便有,把 的表达式(5.4.27)代入(5.4.35)可简写成,(5.4.36),这便是加权最小二乘法。从而说明了，加权最小二 乘法可以看作是广义最小二乘法的特例。,例5.4.2 我们仍利用例5.3
8、.1中表5.3.1给出的数据。 （见课本129-132）帕克检验已给出,本例在Eviews中可直接应用加权最小二乘法（WLS 法） ，将参数估计出来，只需定义一个权数： GENR W1=1/(X1.5281145) 然后在方程的对话框的Options栏中选Weighted LS项， 并在Weight 项中输入权数即可。计算结果如图5.4.1所示。,五、权函数的一个可行的GLS估计量 在GLS处理异方差的关键是找到权函数hi，如果用 估计值 代替hi 就可应用WLS得到参数的估计量， 被称为可行的GLS估计量。 对于模型,(5.3.18),假定方差具有函数形式,(5.3.19),式中 x1，x2，xk为(5.3.18)的自变量，j为未知 参数。,记,在(5.3.19)条件下，可以写成,(5.3.20),其中 ，(5.3.20)两边取对数,(5.3.21),其中e=lnv,v的均值为1,e的均值为0且与x无关。,再对(5.3.21)应用OLS，得到估计值,便得到,即为异方差结构，因此，以 为权，可用 WLS估计方程(5.3.18),总结：可行的GLS程序： 1.将y对x1，x2，xk做回归，并得到残差 。 2.用 代替模型(5.3.21)中的u，并应用OLS，得到 的估计值，求出指数函数 3.以 为权，应用WLS估计方程(5.3.18)。,
