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1、 1 1.问题重述问题重述 大气是指包围在地球外围的空气层，是地球自然环境的重要组成部分之 一。人类生活在大气里，洁净大气是人类赖于生存的必要条件。一个人在五个星 期内不吃饭或 5 天内不喝水，尚能维持生命，但超过 5 分钟不呼吸空气，便会死 亡。随着地球上人口的急剧增加，人类经济增长的急速增大，地球上的大气污染 日趋严重，其影响也日趋深刻，如由于一些有害气体的大量排放，不仅造成局部 地区大气的污染，而且影响到全球性的气候变化。因此，加强大气质量的监测和 预报是非常必要。目前对大气质量的监测主要是监测大气中 2 SO、 2 NO、悬浮颗 粒物（主要为 PM10）等的浓度，研究表明，城市空气质量
2、好坏与季节及气象 条件的关系十分密切。 附件给出城市 A、B、C、D、E、F 从 2003 年 3 月 1 日至 2010 年 9 月 14 日测 量的污染物含量及气象参数的数据。 请运用数学建模的方法对下列问题作出回答： 1.找出各个城市 2 SO、 2 NO、PM10 之间的特点，并将几个城市的空气质量进行 排序。 2对未来一周即 2010 年 9 月 15 日至 9 月 21 日各个城市的 2 SO、 2 NO、PM10 以及各气象参数作出预测。 3分析空气质量与气象参数之间的关系。 4就空气质量的控制对相关部门提出你的建议。 2.问问题分析题分析 本题为生活中的实际问题，层层递进式提出
3、四个问题，分别需要对空气污染 因素以及气象参数进行分析求解。第一问为评价性问题，先从城市内部个污染物 特点出发，再到城市之间空气质量进行比较。第二问是预测性问题，通过对给出 的数据进行分析，预测各项参数之后的趋势。第三问是寻找关联性问题，要求找 出空气质量与气象参数之间的关系。第四问为开放型问题，可通过之前得出的结 论或者相关文章及模型提出建议。 2.1 问题 1 通过查阅资料，运用已有的 API 对各个城市的各项污染指标进行计算，得出 各个污染指数 API 月平均的折线图，观察，得出各城市各项指标的特点。鉴于求 解城市 API 时有一定的误差， 故选择综合评价模型， 对数据进行标准化处理之后
4、， 确定动态加权函数，对模型进行求解，排名。检验模型后确定结论的合理性。 2.2 问题 2 预测模型主要有灰色预测，时间序列等模型。由所给数据以及问题可知该预 测模型为时间序列。随机选取气象参数之一气温（tem）为例进行分析，先通过 SPSS 软件得到其时序图，观察其走势，对其做平稳化处理。然后以最小 BIC 为 标准，构造模型，进一步应用 SPSS 软件求解，得出各项参数，并预测出 2010 年 9 月 15 日至 2010 年 9 月 21 日的数据。其余各城市各污染物浓度以及气象参 数应用类似方法进行求解。最后，由于 F 城市所提供数据与需要预测日期相隔较 远，故只做出定性的分析预测。
5、2.3 问题 3 空气污染物与气象要素关系密切， 研究的方向多为相关性分析与回归分析或 从理论上描述气象要素对污染物迁移扩散的影响。 但是回归分析应用于处理不相 2 关变量之间关系， 而典型相关性分析能很好地解决由于变量之间相关而导致回归 准确性降低的问题。并且观察原始数据发现，其中只有一组气象参数，故猜测气 象参数是在其中某一个城市所采集。现应用典型相关性分析分别分析 A、B、C、 三城市空气污染物 2 SO 、 2 NO 、PM10 与气象要素这两组数据间的关系。求出不同 季节的相关系数，判定气象参数最有可能是属于哪一城市的。再对该城市进行偏 相关性分析，最终得出污染物与气象参数之间的关系
6、。该过程由 SPSS 直接完成。 2.4 问题 4 依据第三问所求得的气象参数和与其对应城市之间的关系， 分析影响各污染 物浓度的主要因素， 依此对有关部门提出合理的建议， 以提高该城市的空气质量。 3.数据处理数据处理 对附件中数据整体浏览， 将不合理的数据进行删除： 2005 年 11 月 7 日的 tem 为 611.5，2010 年 6 月 6 日的 mmgh 为 267.109，依据常识，该两组数据均为记 录错误，故删去不予考虑 3.1 问题 1 对各项指标的数据进行月平均处理.以便进行模型的计算。 3.2 问题 2 基于数据的不完整性，只选择具有连续性的数据（2010 年 1 月
7、20 日至 2010 年 9 月 20 日）对问题二进行分析预测。 3.3 问题 3，4 将一年分为春季季风季（3-5 月）和冬季采暖季（11-2 月）两部分，分别进 行分析。 4.模型基本假设模型基本假设 1、 各组数据真实可信，且是在同一地点同一时间采集，不考虑人为因素，具有 统计、预测意义。 2、 假设 A、B、C、D、E、F 六个城市的发展状况相同，即发展速度没有明显差 异。 3、 API 指标真实可靠，所给数据具有参考统计意义。 4、月 API 平均值能很好的代表该月空气质量，具有比较意义。 5、对 F 城市进行定性预测时，A、F 城市发展状况基本相同，有比较价值。 6、第三问中，灌
8、输数据的对应关系，假设气象参数是在 A、B、C 三城市中某一 个城市所采集。 5.符号说明符号说明 API 空气污染指数 I 某污染物的污染指数 C 该污染物的浓度 C C 大小 在 API 分区表中最接近 C 值得两个值 I I 大 小 在 API 分区表中最接近 I 值得两个值 3 (1,2,3) i x i = 三项污染指标标准化值 j m 区间最小值 j M 区间最大值 ( ) j k a， ( ) j k b 区间边界 ( )(1,2,) j w xjm= 权重 X 被评价指标的综合评价值 i S 城市 () ji B S 每个城市的 Borda 数 t X 时间序列 P 模型阶数
9、d 差分阶数 B 延迟算子 均方差 R 复相关系数 6.模型的建立与求解模型的建立与求解 6.1 问题 1 6.1.1 问题一第一部分 通过查阅资料，可以找到 API，即空气质量污染指数标准，由此计算每个 城市各项指标的月 API 平均值，对各项数值进行比较，得出各个城市三项指标特 点。 6.1.1.1 各项指标月 API 平均值求解 根据表一： 4 计算各项指标的 API 值： 设I为某污染物的污染指数，C为该污染物的浓度。则： () II ICCI CC =+ 大小 小小 大小 式中： C C 大小： 在 API 分区表中最接近 C 值得两个值 I I 大 小：在 API 分区表中最接近
10、I 值得两个值 6.1.1.2 各城市各项指标月 API 平均值折线图 图一：各城市各项指标月 API 平均值折线图 6.1.1.3 结果分析 5 整体分析图表可以看出 A、B、C、D、E 五个城市 SO2、NO2、PM10 等污染物 浓度均呈现波动性并且有缓慢下降趋势。 分析 A 城市数据，发现 A 城市 PM10 浓度与 B 城市差别并不显著，但是观察 发现 A 城市 PM10 的值在 2010 年 8 月后有所回升，这一点也可由数据得到验证。 B 城市 SO2 波动性很强，但是下降的趋势并不是非常的明显，说明 B 城市可 能有一些周期性的污染源需要治理。 而 B 城市的 PM10 波动性
11、强有明显下降趋势， 这说明 B 城市很有可能在 2010 年采取过一些相应的积极措施，使得该城市 PM10 浓度在短期内大幅度下降。 而 A、B 两城市的 SO2 和 PM10 数值均明显高于 NO2 的数值，且两城市污染物 的波动方式相似，可粗略认为 A、B 两城市有部分工业或者结构上的相似。 分析 C、D 两城市可知 SO2、NO2、PM10 浓度较平稳波动，只有 PM10 在个别 时段有较大的起伏，而在其他时间序列内均趋于平缓变化。C、D 两城市的 PM10 曲线在同一时间明显偏高， 可推论在那一段时间有某些外界因素使得两个城市的 PM10 数值共同上升。 分析 E 城市空气污染物浓度可
12、知，E 城市 SO2、NO2、PM10 浓度均在一定范 围内平稳变化 ，说明该城市在所选时间段内空气质量比较平稳。 由于 F 城市数据严重不足， 只有从 2004 年 9 月 1 日到 2009 年 12 月 27 日的 采集数据，故在 F 城市数具有统计意义的前提下，由图可知观看出 F 城月平均污 染物浓度大致呈现平稳趋势。 6.1.2 问题一第二部分 根据问题对 API 分析发现，对于城市 API 值计算中，原理为取三项指标的最 大值，这会造成相应的误差，故在分析第一问的第二部分时，只参考 API 的划分 标准，应用综合评价模型。 6.1.2.1 数据的标准化处理 对所给的空气污染标准（A
13、PI）进行标准化处理，记三项指标： 2 SO、 2 NO、 PM10 的数值分别为 1 x， 2 x， 3 x。 三项指标的数据均为极小型指标（即指标值越小越好） ，对其指标 j x 做标准 化处理，即令： (1) jj j jj xm xjm Mm = 其中 1 min jij i n mx =， 1 max jij i n Mx =。则相应的指标值变为 0,1 ij x，即为无量 纲的标准化指标， 对应的分类区间 ( )( ) ,) jj kk ab也随之相应的变化， 在这里为了方便 仍记为 ( )( ) ,) jj kk ab(1,2;1)kKjm=。 （1） 2 SO 的标准化 取 1
14、 0m =， 1 2.62M =， 1 1 2.62 x x =，则其标准化数据为： ( ) 1 0,1 k i x 对应的分类区间为： ( () 0,0.01908 , 0.01908,0.05725 , 0.05725,0.30534 , 0.30534,0.610687 , 0.610687,0.801527 , 0.801527,1 , 1, （2） 2 NO 的标准化 6 取 2 0m =， 2 0.94M =， 2 2 0.94 x x =，则其标准化数据为： ( ) 2 0,1 k i x 对应的分类区间为： ( () 0,0.0851 , 0.0851,0.12766 , 0.
15、12766,0.29787 , 0.29787,0.601064 , 0.601064,0.79787 , 0.79787,1 , 1, （3）PM10 的标准化 取 3 0m =， 3 0.6M =， 3 3 0.6 x x =，则其标准化数据为： ( ) 3 0,1 k i x 对应的分类区间为： ( () 0,0.08333 , 0.08333,0.25 , 0.25,0.58333 , 0.58333,0.7 , 0.7,0.8333 , 0.8333,1 , 1, 6.1.2 动态加权函数确定 根据这一实际问题，通过对 2 SO、 2 NO、PM10 三项指标的变化关于空气质 量的分
16、析，可得其变化的规律为：先是缓慢增长，中间有一个快速增长的过程， 最后平缓增加趋于最大值。此增长规律可取动态加权函数为偏大型正态分布函 数，即： 2 () 1 ( ) 0, j j x j j j ex w x x = ，当时 当时 其中 j 不妨取指标 j x的第一类空气质量标准的中间值， 即 ( )( ) 11 1 () 2 jj j ba=， j 由 ( ) 4 ()0.9(1) j j wjm=确定。 6.1.3 综合评价模型的构建 根据标准化后的评价值，不妨仍用 i x表示，以及相应的动态加权函数 ( )(1,2,) j w xjm=， 建立综合评价模型来对被评价的 6 个城市的空气质量进行评 价，在此，取综合评价模型为个评价指标的动态
