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1、学 海 无 涯 1 例析抽象函数周期的求法例析抽象函数周期的求法 抽象函数周期问题是近年来高考及各地模拟试题中高频出现的问题， 其周期求法 能有效考查学生的逻辑思维能力和代数推理能力，对培养学生思维品质大有帮 助。下面举例说明求周期的常用方法及技巧。 一、仅含抽象关系式的周期函数一、仅含抽象关系式的周期函数 例 1 若存在常数 m0，使函数 f(x)满足，则的 一个正周期是_。 解：设，则，依题意有 ，由周期函数的定义，是的一个周期 所以期 例 2 已知函数满足，求证：函数 为周期函数。 证明：因为对有 （2）代入（1）得 这样 所以为周期函数，且为它的一个周期。 学 海 无 涯 2 例 3
2、设函数的定义域关于原点对称，且对定义域内任意，有 ，且存在常数，使。试证：是周期函 数，且有一个周期为 4a。 证明：设，则 所以 y=f(x)为周期函数，且有一个周期为 4a。 说明：从以上几例可见，适当的赋值和变量代换，是探求抽象函数周期的关键。 下面再给一个探求周期来计算函数值的例子。 例 4 设是定义在 R 上的函数，且对任意，都有 ，又，求的值。 解： 学 海 无 涯 3 又 所以 可知是以 2 为一个周期的周期函数 所以 二、图象中有二、图象中有两条对称轴的两条对称轴的抽象函数抽象函数 例 5 若函数的图象关于两条直线和都对称，试 证：是周期函数，且是它的一个周期。 证明：因为的图
3、象关于直线和（aB）都对称 所以且 这样 所以是周期函数，且是它的一个周期。 例6 设是定义在R上的偶函数， 且它的图象关于x=2对称， 已知时， ，求时，的表达式。 解：由题设知：有两条对称轴和 所以为周期函数，且为它的一个周期 又当时， 所以 三、图象关于两点成中心对称的抽象函数三、图象关于两点成中心对称的抽象函数 例 7 设函数的图象关于相异两点 A（a,0），B（b，0）都对称， 则是一个周期为的周期函数。 证明：由题设有，这样 学 海 无 涯 4 故原命题得证 例 8 定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数，又也是奇函数，求 的值。 解：因为 f(x)是 R 上的奇函数，所以 f(x)关于 O（0，0）对称，且 f(0)=0 又是奇函数，所以 f(x)关于点（-1，0）对称 所以是 f(x)的一个周期 所以 四、图象有一条对称轴和一个中心对称点的抽象函数四、图象有一条对称轴和一个中心对称点的抽象函数 例 10 设函数的图象关于点 A （a， 0） 与直线都对称， 则 f(x) 为周期函数，且是它的一个周期。 证明：因为函数 f(x)图象点于点 A（a，0）对称 所以 又函数 f(x)图象关于直线对称 所以 这样 学 海 无 涯 5 所以为周期函数且为它的一个周期。
