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1、章末检测一、选择题1对于向量 a、b、c 和实数 ，下列命题中真命题是 ()A若 ab0，则 a0 或 b 0B若 a0，则 0 或 a0C若 a2b 2，则 ab 或 a bD若 abac，则 bc2已知平面 和平面 的法向量分别为 m(3,1 ，5)，n(6，2,10) ，则()A BC 与 相交但不垂直 D以上都不对3已知向量 a(0,2,1)，b( 1,1，2)，则 a 与 b 的夹角为 ()A0 B45 C90 D1804.如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，已知a， b，AB AD c，则用向量 a，b，c 可表示向量 等于 ()AA1 BD1 Aabc B abcC
2、abc D abc5若平面 的法向量为 n，直线 l 的方向向量为 a，直线 l 与平面 的夹角为 ，则下列关系式成立的是 ()Acos Bcos na|n|a| |na|n|a|Csin D sin na|n|a| |na|n|a|6设 A、B 、C、D 是空间不共面的四点，且满足 0， 0， 0，则AB AC AC AD AB AD BCD是 ()A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D不确定7在以下命题中，不正确的个数为 ()|a |b| a b|是 a，b 共线的充要条件；对 ab，则存在唯一的实数 ，使 a b；对空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，若 2 2 ，则OP
3、OA OB OC P，A，B，C 四点共面；|( ab)c| a|b|c|.A2 B3 C4 D18.已知四边形 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，连接 AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是 ()A. 与 B. 与PC BD DA PB C. 与 D. 与PD AB PA CD 9设 E，F 是正方体 AC1 的棱 AB 和 D1C1 的中点，在正方体的 12 条面对角线中，与截面A1ECF成 60角的对角线的数目是 ()A0 B2 C4 D610.如图，ABACBD 1，AB面 M，AC 面 M，BDAB，BD 与面 M 成 30角，则 C、D 间的距离为
4、 ()A1 B2C. D.2 311已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，点 E，F 分别是 BC、AD 的中点，则 的值为 ()AE AF Aa 2 B. a2 C. a2 D. a212 14 3412.如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1底面ABC，ABBC AA 1，ABC90 ，点 E、F 分别是棱 AB、BB 1 的中点，则直线 EF 和 BC1 的夹角是 ()A45 B60C90 D120二、填空题13已知 P 和不共线三点 A，B，C 四点共面且对于空间任一点 O，都有 2 OP OA OB ，OC 则 _.14已知 A(2,1,0)，点 B
5、 在平面 xOz 内，若直线 AB 的方向向量是(3，1,2) ，则点 B 的坐标是_15平面 的法向量为 m(1,0，1)，平面 的法向量为 n(0，1,1) ，则平面 与平面 所成二面角的大小为_16.如图所示，已知二面角 l 的平面角为 ( )，(0，2)ABBC，BCCD，AB 在平面 N 内，BC 在 l 上，CD 在平面 M 内，若ABBCCD1，则 AD 的长为_三、解答题17.已知四棱锥 PABCD 的底面是平行四边形，如图，M 是 PC 的中点，问向量 、 、 是否可以组成一个基底，并说明理由PA MB MD 18.如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N
6、 分别是 C1D1，AB 的中点，E 在 AA1 上且 AE2EA 1，F 在 CC1 上且 CF FC1，试证12明 MENF.19.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P 是侧棱 CC1 上一点，CPm.试确定 m 使得直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60.20.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2 ，E，F 分别是 AD，PC 的中点证明： PC平2面 BEF.21如图，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 2 的菱形， BAD3120，且 PA平面 ABCD， PA2 ，M，N 分别为 PB，
7、 PD 的中6点(1)证明：MN平面 ABCD；(2)过点 A 作 AQPC，垂足为点 Q，求二面角 AMNQ 的平面角的余弦值22.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点(1)求直线 BE 和平面 ABB1A1 所成角的正弦值；(2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F，使 B1F平面 A1BE？证明你的结论答案1B2B 3C 4D 5D 6B 7C8A9C 10C11C 12B13214(5,0,2)1560或 12016. 3 2cos 17解 、 、 不可以组成一个基底，理由如下：PA MB MD 连接 AC、BD 相交于点 O，ABCD 是平行四边形
8、，O 是 AC、BD 的中点，在BDM 中， ( )，MO 12MD MB 在PAC 中，M 是 PC 的中点， O 是 AC 的中点，则 ，即 ，即 与 、 共面MO 12PA PA MD MB DA MD MB 、 、 不可以组成一个基底PA MB MD 18证明由平行六面体的性质 ME MD1 D1A1 A1E 12C1D1 AD 13A1A ，12AB AD 13AA1 NF NB BC CF 12AB AD 13CC1 ，12AB AD 13AA1 ，又 M，E，N，F 不共线，ME NF .ME NF 19解建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，P
9、(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)则 ( 1， 1,0)， (0,0,1)， (1,1，m)，BD BB1 AP (1,1,0) AC 又由 0 ， 0 知，AC BD AC BB1 为平面 BB1D1D 的一个法向量AC 设 AP 与平面 BB1D1D 所成的角 为 ，则 sin |cos ， |AP AC |AP AC |AP |AC |22 m2 2依题意得 sin 60 ，解得 m .22 2m2 2 32 33故当 m 时，直线 AP 与平面 BDD1B1 所成的角为 60.3320证明如图，以 A 为坐标原点， AB，AD，A
10、P 所在直线 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系APAB2，BCAD2 ，四边形 ABCD 是矩形，2A，B ，C，D，P 的坐标分别为 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2，2 ，0)，D(0,2 ，0)，P(0,0,2)2 2又 E，F 分别是 AD，PC 的中点，E(0， ，0)，F(1， ，1)2 2 (2,2 ，2)， (1， ，1)， (1,0,1) PC 2 BF 2 EF 2 420， 2020.PC BF PC EF ， .PC BF PC EF PCBF，PC EF .又 BFEFF，PC平面 BEF.21(1)证明连接 BD，因为 M，N 分别是 PB，PD
11、的中点，所以 MN 是PBD 的中位线，所以 MNBD .又因为 MN平面 ABCD，BD平面 ABCD，所以 MN平面 ABCD.(2)解方法一连接 AC 交 BD 于 O，以 O 为 原点，OC，OD 所在直线为 x，y 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，如图所示在菱形 ABCD 中，BAD120，得 ACAB2 ，BD AB6.3 3又因为 PA平面 ABCD，所以 PAAC.在直角 PAC 中，AC2 ，PA2 ，AQPC，得 QC2，PQ4.3 6由此知各点坐标如下：A( ，0,0)，B(0，3,0)，C( ，0,0)，D(0,3,0)，3 3P( ，0,2 )，M ，N ，3 6
12、( 32， 32，6) ( 32，32，6)Q .(33，0，263)设 m(x，y，z)为平面 AMN 的法向量，由 ， 知AM ( 32， 32，6) AN ( 32，32，6)Error!取 z1，得 m(2 ，0，1) 2设 n(x，y，z)为 平面 QMN 的法向量，由 ， 知QM ( 536， 32，63) QN ( 536，32，63)Error!取 z5，得 n(2 ，0,5)2于是 cosm，n .mn|m|n| 3333所以二面角 AMNQ 的平面角的余弦 值为 .3333方法二如图所示，在菱形 ABCD 中，BAD120，得 ACABBCCDDA，BD AB.3又因为 P
13、A平面 ABCD，所以 PAAB，PAAC，PA AD.所以 PBPC PD.所以PBCPDC.而 M，N 分别是 PB，PD 的中点，所以 MQNQ，且 AM PB PDAN .12 12取线段 MN 的中点 E，连接 AE，EQ，则 AEMN，QEMN，所以AEQ 为二面角 AMNQ 的平面角由 AB2 ，PA2 ，3 6故在AMN 中，AMAN3 ，MN BD3，12得 AE .332在 Rt PAC 中，AQPC，得 AQ2 ，QC2， PQ4.2在PBC 中，cosBPC ，PB2 PC2 BC22PBPC 56得 MQ .PM2 PQ2 2PMPQcos BPC 5在等腰MQN 中，MQNQ ，MN3，5得 QE .MQ2 ME2112在AEQ 中，AE ，QE ，AQ2 ，332 112 2得 cosAEQ .AE2 QE2 AQ22AEQE 3333所以二面角 AMNQ 的平面角的余弦 值为 .333322解设正方体的棱长为 1.如图所示，以 ， ，
