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1、,2.3,幂 函 数,(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = _,w 元,(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S = _,(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V = _,(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=_,_是_的函数,a,a,V是a的函数,t km/s,v是t 的函数,我们先来看几个具体的问题:,(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长_,a是S的函数,以上问题中的函数具有什么共同特征?,思考:,P,w,y=x,y=x2,y=x3,y=x,y=x-1,_是_的函数,S,a,他们有以下共同特点：,(1)
2、都是函数；,(3) 均是以自变量为底的幂；,(2) 指数为常数.,一般地，函数 叫做幂函数(power function) ， 其中x为自变量为常数。,定义:,问题:,你能说出幂函数与指数函数的区别吗?,指数函数：解析式 ，底数为常数a，a0，a1，指数为自变量x；,幂函数：解析式 ，底数为自变量x，指数为常数， R；,判一判,下面研究幂函数,在同一平面直角坐标系内作出这 六个幂函数的图象.,结合图象，研究性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。,研究 y=x,y=x,在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系?,在第一象限内， 当a0时，图象随x增大而上升。 当a0时，图象
3、随x增大而下降,不管指数是多少,图象都经过哪个定点?,在第一象限内， 当a0时，图象随x增大而上升。 当a0时，图象随x增大而下降。,图象都经过点（1，1）,a0时,图象还都过点(0,0)点,奇,偶,奇,非奇 非偶,奇,(1,1),R,R,R,x|x0,0,+）,R,R,y|y0,0,+）,0,+）,在R上增,在（-，0)上减，,观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:,在R上增,在0，+）上增，,在（-，0上减,在0，+）上增，,在(0，+)上减,(1) 所有的幂函数在(0,+)都有定义，并且图象都通过点(1,1);,(2) 如果，则幂函数图象过原点，并且在区间0,+)上是增函数；,(3)
4、如果，则幂函数图象在区间(0,+)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于+时，图象在X轴上方无限地逼近x轴；,(4) 当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数,幂函数的性质,例1 如果函数 是幂函数，且在区间（0，+）内是减函数，求满足条件的实数m的集合。,解:依题意,得,解方程,得 m=2或m=-1,检验:当 m=2时,函数为,符合题意.当m=-1时,函数为,不合题意,舍去.所以m=2,解:(1)y= x0.8在(0,+)内是增函数, 5.25.3 5.20.8 5.30.8,(2)y=x0.3在(0,+)内是增函数 0.20
5、.3 0.20.3 0.30.3,(3)y=x-2/5在(0,+)内是减函数 2.52.7-2/5,练习,例3 证明幂函数 在0，+上是增函数.,复习用定义证明函数的单调性的步骤:,(1). 设x1, x2是某个区间上任意二值，且x1x2;,(2). 作差 f(x1)f(x2)，变形 ;,(3). 判断 f(x1)f(x2) 的符号；,(4). 下结论.,证明:任取,所以幂函数 在0，+）上是增函数.,证法二: 任取x1 ,x2 0，+）,且x1 x2 ；,证明：幂函数 在0，+）上是增函数.,(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式。 (2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不一定能推出(x1)(x2)。,即,所以,应用举例.,练习：证明幂函数y=x3 在定义域上是增函数.,课堂小结.,1.幂函数的定义 2.5类典型幂函数的图像及性质 3.幂函数的4点性质 4.利用幂函数图像比较数与数的大小,课后作业,1）当 取不同的有理数时，讨论 幂函数 的定义域.,2)已知幂函数 , 在区间(0,+)上是减函数,求函数的解析式 并讨论其单调性和奇偶性,3）P79习题2.3： 1,再见！,谢谢合作 再见！,
