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1、双因素方差分析方法,双因素试验的方差分析,在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果，而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。,例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时， 性能变化不大，但当同时加入元素A和B时，合金性 能的变化就特别显著。,统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的 影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析 中，把它当成一个新因素来处理。,我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的 问题，用正交试验法比较方便。,无交互作用的双因素试验的方差分析,数学模型,假设某个试验中，有两个可控因素在变化，因素A有a个水平，记作A1，A2
2、，Aa；因素B有b个水平，记作B1，B2，.Bb；则A与B的不同水平组合AiBj（i=1，2，a；j=1，2，b）共有ab个，每个水平组合称为一个处理，每个处理只作一次试验，得ab个观测值Xij，得双因素无重复实验表,双因素无重复（无交互作用）试验资料表,无交互作用的双因素试验的方差分析,线性统计模型,基本假设（1） 相互独立； （2） ，（方差齐性）。,其中,所有期望值的总平均,水平Ai对试验结果的效应,水平Bj对试验结果的效应,试验误差,特性：,水平Ai对试验结果的效应,水平Bj对试验结果的效应,试验误差,要分析因素A，B的差异对试验结果是否有显著 影响，即为检验如下假设是否成立：,总离差
3、平方和的分解定理,仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和,可分解为：,称为因素A的离差平方和， 反映因素 A 对试验指标的影响。,称为因素B的离差平方和， 反映因素 B 对试验指标的影响。,称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。,可推得：,将 的自由度分别记作,，则,若假设 成立，则：,对给定的检验水平 ，,拒绝H01，即A 因素的影响有统计意义。,拒绝H02，即B 因素的影响有统计意义。,双因素（无交互作用）试验的方差分析表,注意,各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方和的自由度为试验总次数减一。,双因素（无交互作用）试验的方差分析表,简便计算式：,其中：,例1 设甲、乙、丙
4、、丁四个工人操作机器、各一天， 其产品产量如下表，问工人和机器对产品产量是否有显著 影响？,解 基本计算如原表,结论：工人对产品的产量有显著影响， 机器对产品的产量有极显著影响。,例2：某厂对生产的高速钢铣刀进行淬火工艺试验，考察回火温度A和淬火温度B两个因素对强度的影响。今对两个因素各3个水平进行试验，得平均硬度见表：,Bj,Ai,试验结果,B1（1210C）B2（1235C）B3（1250C）,A1（280C） 64 66 68,A2（300C） 66 68 67,A3（320C） 65 67 68,假设：不同组合水平下服从正态分布、互相独立、方差相等。 所需要解决的问题是：所有Xij的均
5、值是否相等。,方差分析表：,方差来源 离差平方和 自由度 F值 F0.05(2,4) F0.01(2,4) 显著性,因素A 1.56 2 FA=1.01 6.94 18.0,因素B 11.56 2 FB=7.46 6.94 18.0 *,试验误差 3.1 4,总误差 16.22 8,A影响不显著。,B影响显著，由于,高速钢洗刀的硬度越大越好，因此因素B可取B3水平，即淬火温度1250C为好，因素A水平的确定，应考虑经济方便，取A1水平为好。,【例3】有四个品牌的彩电在五个地区销售，为分析彩电的品牌(因素A)和销售地区(因素B)对销售量是否有影响，对每个品牌在各地区的销售量取得以下数据，见下表。
6、试分析品牌和销售地区对彩电的销售量是否有显著影响？,四、双因素方差分析例题,1、对因素A提出的假设为 H0: m1=m2=m3=m4 (品牌对销售量没有影响) H1: mi (i =1,2, , 4) 不全相等 (品牌对销售量有影响) 2、对因素B提出的假设为 H0: m1=m2=m3=m4=m5 (地区对销售量没有影响) H1: mj (j =1,2,5) 不全相等 (地区对销售量有影响),四、双因素方差分析例题,结论： FA18.10777F3.4903，拒绝原假设H0，说明彩电的品牌对销售量有显著影响 FB2.100846 F3.2592，接受原假设H0，说明销售地区对彩电的销售量没有显
7、著影响,例1的上机操作,对应例1 的数据输入方式,原始数据，行因素水平，列因素水平,（A）,（B）,工人对产品产量有显著影响，而机器对产品产量的影响极显著。,有交互作用的双因素试验的方差分析,引例.大豆施肥量试验.某农场在4块面积相同的的试验田 用不同的方式施肥,试验结果如表:,从试验结果的数据来看,在没有施氮肥(N1=0)和施磷肥 4公斤(P2=4)时,大豆增产50公斤,这反映磷肥的作用;当没 有施磷肥(P1=0)和施氮肥6公斤(N2=6)时,大豆增产了30 公斤,这反映了氮肥的作用.当同时施磷肥4公斤氮肥6公斤 ,共增产了160公斤(560-400),这一增长量不是只用氮肥和 只用磷肥的简
8、单相加,30+50=80公斤.因此160-80=80反映 了施磷肥和氮肥的交互作用.,双因素有重复（有交互作用）试验资料表,因素 A,因素 B,有交互作用的双因素试验的方差分析,基本假设（1） 相互独立； （2） ，（方差齐性）。,处理方法：把交互作用当成一个新因素来处理， 即把每种搭配AiBj看作一个总体Xij。,记,所有期望值的总平均,有交互作用的双因素试验的方差分析,线性统计模型,其中,所有期望值的总平均,水平Ai对试验结果的效应,水平Bj对试验结果的效应,试验误差,交互效应,特性：,要判断因素A，B及交互作用AB对试验结果是否 有显著影响，即为检验如下假设是否成立：,总离差平方和的分解
9、定理,仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和,可分解为：,SSA称为因素A的离差平方和，反映因素 A 对试验指标的影响。 SSB称为因素B的离差平方和，反映因素 B 对试验指标的影响。SSAB称为交互作用的离差平方和，反映交互作用AB对试验指标的影响。SSE称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。,若“各因素、各水平及其交互作用的影响无统计意义”的假设 成立，则,则,可推得：,由 作右侧假设检验来考察各因素及因素 间的交互作用对试验指标的影响力.,双因素（有重复）试验方差分析表,各离差平方和的计算公式参看出P180_181,这里,双因素有重复（有交互作用）试验资料表,因素 A,因素 B
10、,各变异来源的自由度和平方和的估计为：,例施用A1、A2、A33种肥料于B1、B2、B33种土壤，以小麦为指示作物，每处理组合种3盆，得产量结果(g)如下表，试作方差分析。,1、自由度和平方和的分解,2、F 测验 将上述结果及自由度录于方差分析表中，以固定模型作F测验,例9-2 两因素：疾病种类（A）与护士年龄（B） a=4（心脏病、肿瘤、脑血管意外、结核病） b=3（20、30、40）; n=5；Yijk为访视时间,问： (1) 护士年龄的主效应？ (2) 疾病病种的主效应？ (3) 护士年龄与疾病病种间是否存在交互作用？,两因素析因分析的方差分析步骤,三、交互作用,实例2：白血病患儿的淋巴细胞转化率（），问不同缓解程度、不同化疗时期淋转率是否相同？两者间有无交互作用？,例3,因素A（能量）,因素 B（蛋白质）,输入数据时，C2表示行因素 水平，C3表示列因素水平。 第几次重复不必列明，软件 自会识别。,结果显示如P185,均0.01,饲料中能量的高低、蛋白质含量的不同 及两者的交互作用对鱼的体重的影响极 有统计意义。,各因素，各水平，各交互作用下的均值。,
