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1、數學和中國文學的比較,丘成桐教授 哈佛大学 浙江大学 二零零五年八月七日,很多人會覺得我今日的講題有些奇怪，中 國文學與數學好像是風馬牛不相及，但我卻討 論它。其實這關乎個人的感受和愛好，不見得 其他數學家有同樣的感覺，如人飲水，冷暖 自知。每個人的成長和風格跟他的文化背 景、家庭教育有莫大的關係。 我幼受庭訓，影響我至深的是中國文學， 而我最大的興趣是數學，所以將他們做一個比 較，對我來說是相當有意義的事。,一、數學之基本意義,數學之為學，有其獨特之處，它本身是尋求自然界真相的一門科學，但數學家也如文學家般天馬行空，憑愛好而創作，故此數學可說是人文科學和自然科學的橋樑。,數學家研究大自然所提
2、供的一切素材，尋找它們共同的規律，用數學的方法表達出來。這裏所說的大自然比一般人所瞭解的來得廣泛，我們認為數字、幾何圖形和各種有意義的規律都是自然界的一部份，我們希望用簡潔的數學語言將這些自然現象的本質表現出來。 大部份數學著作枯燥乏味，而有些卻令人歎為觀止，其中的分別在那裏？,大略言之，數學家以其對大自然感受的深刻膚淺，來決定研究的方向，這種感受既有其客觀性，也有其主觀性，後者則取決於個人的氣質，氣質與文化修養有關，無論是選擇懸而未決的難題，或者創造新的方向，文化修養皆起着關鍵性的作用。人文知識致力於描述心靈對大自然的感受，所以司馬遷寫史記除了通古今之變外，也要究天人之際。 劉勰在文心雕龍原
3、道篇說文章之道在於：寫天地之輝光，曉生民之耳目。 劉勰以為文章之可貴，在尚自然，在貴文采。,歷代的大數學家如阿基米德、如牛頓莫不以自然為宗，見物象而思數學之所出，即有微積分的創作。費爾瑪和尤拉對變分法的開創性發明也是由於探索自然界的現象而引起的。,近代幾何學的創始人高斯则認為幾何和物理不可分。,費爾瑪(公元1601),高斯 (公元1777),阿基米德(公元前287),二十世紀幾何學的發展，則因物理學上重要的突破而屢次改變其航道。當狄拉克把狹義相對論用到量子化的電子運動理論時，發現了狄拉克方程，以後的發展連狄拉克本人也嘆為觀止，認為他的方程比他的想像來得美妙，這個方程在近代幾何的發展起着關鍵性的
4、貢獻，我們對旋子的描述缺乏直觀的幾何感覺，但它出於自然，自然界賦予幾何的威力可說是無微不至。,狄拉克 （公元1902）,廣義相對論提出了場方程，它的幾何結構成為幾何學家夢寐以求的對象，因為它能賦予空間一個調和而完美的結構。我研究這種幾何結構垂三十年，時而迷惘，時而興奮，自覺同詩經、楚辭的作者，或晉朝的陶淵明一樣，與大自然渾為一體，自得其趣。 捕捉大自然的真和美，實遠勝於一切人為的造作，正如文心雕龍說的：雲霞雕色，有踰畫工之妙。草木菁華，無待錦匠之奇，夫豈外飾，蓋自然耳。,陶淵明 （公元404）,在空間上是否存在滿足引力場方程的幾何結構是一個極為重要的物理問題，它也逐漸地變成幾何中偉大的問題。儘
5、管其他幾何學家都不相信它存在，我卻鍥而不捨，不分晝夜地去研究它，就如屈原所說： 亦餘心之所善兮，雖九死其猶未悔。 我花了五年工夫，終於找到了具有超對稱的引力場結構，並將它創造成數學上的重要工具。當時的心境，可以用以下兩句來描述： 落花人獨立，微雨燕雙飛。,以後大批的弦理論學家參與研究這個結構，得出很多深入的結果。剛開始時，我的朋友們都對這類問題敬而遠之，不願意與物理學家打交道。但我深信造化不致弄人，回顧十多年來在這方面的研究尚算滿意，現在卡拉比丘空間的理論已經成為數學的一支主流。,卡拉比丘空间,丘成桐教授（右一）和 卡拉比教授（右二）,二、數學的文采,數學的文采，表現於簡潔，寥寥數語，便能道出
6、不同現象的法則，甚至在自然界中發揮作用，這是數學優雅美麗的地方。我的老師陳省身先生創作的陳氏類，就文采斐然，令人讚歎。它在扭曲的空間中找到簡潔的不變量，在現象界中成為物理學界求量子化的主要工具，可說是描述大自然美麗的詩篇，直如陶淵明采菊東蘺下，悠然望南山的意境。,陳省身 （公元1911）,從歐氏幾何的公理化、到笛卡兒創立的解析幾何，到牛頓、來布尼茲的微積分，到高斯、黎曼創立的內蘊幾何，一直到與物理學水乳相融的近代幾何，都以簡潔而富於變化為宗，其文采絕不遜色與任何一件文學創作，它們軔生的時代與文藝興起的時代相同，絕對不是巧合。,欧拉 （公元1707）,牛顿 （公元1642）,黎曼 （公元1826
7、）,數學家在開創新的數學想法的時候，可以看到高雅的文采和嶄新的風格，例如歐幾里得證明存在無窮多個素數，開創反證法的先河。高斯研究十七邊形的對稱群，使伽羅華群成為數論的骨幹。這些研究異軍突起，論斷華茂，使人想起五言詩的始祖蘇武和李陵的唱和詩和詞的始祖李太白的憶秦娥。,歐幾里得 （公元前330）,伽羅華 （公元1811）,三、數學中的賦比興,中國詩詞都講究比興，鍾爃在詩品中說： 文已盡而意有餘，興也。因物喻志，比也。 白居易批評謝朓詩餘霞散成綺，澄江淨如練。麗則麗矣，吾不知其所諷焉，故僕所謂嘲風雪，弄花草而已，文意盡去矣。 有深度的文學作品必需要有義、有諷、有比興。數學亦如是。我們在尋求真知時，往
8、往只能憑已有的經驗，因循研究的大方向，憑我們對大自然的感覺而向前邁進，這種感覺是相當主觀的，因個人的文化修養而定。,白居易 （公元772）,舉例而言，三十年前我提出一個猜測，斷言三維球面裏的光滑極小曲面，其第一特徵值等於二。當時這些曲面例子不多，只是憑直覺，利用相關情況類比而得出的猜測，最近有數學家寫了一篇文章證明這個猜想。其實我的看法與文學上的比興很相似。,我一方面想象三维球的极小子曲面应当是如何的匀称，一方面想象第一谱函数能够同空间的线性函数比较该有多妙，通过原点的平面将曲面最多切成两块，于是猜想这两个函数应当相等，同时第一特征值等于二。 当时我与卡拉比教授讨论这个问题，他也相信这个猜测是
9、对的。旁边我的一位研究生问为甚么会做这样的猜测，不待我回答，卡教授便微笑说这就是洞察力了。,數學上常見的對比方法乃是低維空間和高維空間現象的對比。我們雖然看不到高維空間的事物，但可以看到一維或二維的現象，並由此來推測高維的變化。我在做研究生時企圖將二維空間的單值化原理推廣到高維空間，得到一些漂亮的猜測，我認為曲率的正或負可以作為複結構的指向，這個看法影響至今，可以溯源到十九世紀和二十世紀初期曲率和保角映射關係的研究。,事實上，愛因斯坦的廣義相對論也是對比各種不同的學問而創造成功的，它是科學史上最偉大的構思，可以說是驚天地而泣鬼神的工作。它統一了古典的引力理論和狹義相對論。愛氏花了十年功夫，基於
10、等價原理，比較了各種描述引力場的方法，巧妙地用幾何張量來表達了引力場，將時空觀念全盤翻新。,愛因斯坦 （公元1879）,愛氏所用的工具是黎曼幾何，乃是黎曼比他早五十年前發展出來的，當時的幾何學家唯一的工具是對比，在古典微積分、雙曲幾何和流形理論的類比後得出來的漂亮理論。反過來說，廣義相對論給黎曼幾何注入了新的生命。,相对论,黎曼 （公元1826）,二十世紀數論的一個大突破乃是算術幾何的產生，利用群表示理論為橋樑，將古典的代數幾何、拓樸學和代數數論比較，有如瑰麗的歌曲，它的發展，勢不可擋，氣勢如虹，天之所開，不可當也。,Weil研究代數曲線在有限域上解的問題後，得出高維代數流形有限域解的猜測，推
11、廣了代數流形的基本意義，直接影響了近代數學的發展。籌學所問，無過於此矣。,Weil（公元1906）,西廂記和牡丹亭的每一段寫作和描述男女主角的手法都極為上乘，但是全書的結構則是一般的佳人才子寫法，由金瓶梅進步到紅樓夢則小處和大局俱佳。 這點與數學的發展極為相似，從局部的結構發展到大範圍的結構是近代數學發展的一個過程。往往通過比興的手法來處理。幾何學和數論都有這一段歷史。,曹雪芹 （公元1724）,西厢記,好的作品需要賦比興並用。 鍾爃詩品： 直書其事，寓言寫物，賦也。宏斯三義，酌而用之，幹之以風力，潤之以丹采，使味之者無極，聞之者動心，是詩之至也。若專用比興，則患在意深，意深則詞躓。若但用賦體
12、，則患在意浮，意浮則文散。,橢 圓 曲 線,Birch,有些数学工作包含賦比興三種不同的精義。近五十年來數論上一個偉大的突破是由英國人Birch和Swinnerton-Dyer提出的一個猜測，開始時用計算機大量計算，找出L函數和橢圓曲線的整數解的連繫，與數論上各個不同的分枝比較接合，妙不可言，這是賦比興都有的傳世之作。,Swinnerton-Dyer,四、數學家對事物的看法的多面性,由於文學家對事物有不同的感受，同一事或同一物可以產生不同的吟咏。對事物有不同的感受後，往往通過比興的方法另有所指，例如美人有多重意思，除了指美麗的女子外，也可以指君主：屈原九章結微情以陳詞兮，矯以遺夫美人。也可以指
13、品德美好的人：詩經邶風：云誰之思，西方美人。蘇軾赤壁賦望美人兮天一方。,蘇軾 （公元1036）,數學家對某些重要的定理，也會提出很多不同的證明。例如畢氏定理的不同證明有十個以上，等周不等式亦有五、六個證明，高斯則給出數論對偶定律六個不同的看法。不同的證明讓我們以不同的角度去理解同一個事實，往往引導出數學上不同的發展。,記得三十年前我利用分析的方法來證明完備而非緊致的正曲率空間有無窮大體積後，幾何學家Gromov開始時不相信這個證明，以後他找出我證明方法的幾何直觀意義後，發展出他的幾何理論，這兩個不同觀念都有它們的重要性。,對空間中的曲面，微分幾何學家會問它的曲率如何，有些分析學家希望沿着曲率方
14、向來推動它一下看看有甚麼變化，代數幾何學家可以考慮它可否用多項式來表示，數論學家會問上面有沒有整數格點。這種種主觀的感受由我們的修養來主導。,五、數學的意境,王國維在人間詞話說： 詞以境界為最上。有境界則自成高格有造境，有寫境，此理想與寫實二派之所由分。然二者頗難分別，因大詩人所造之境必合乎自然，所寫之境亦必鄰於理想故也。有有我之境，有無我之境。,王国维 （公元1877）,數學研究當然也有境界的概念，在某種程度上也可談有我之境、無我之境，當年尤拉開創變分法和推導流體方程，由自然現象引導，可謂無我之境，他又憑自己的想象力研究發散級數，而得到Zeta函數的種種重要結果，開三百年數論之先河，可謂有我
15、之境矣。另外一個例子是法國數學家Grothendick，他著述極豐，以個人的哲學觀點和美感出發，竟然不用實例，建立了近代代數幾何的基礎，真可謂有我之境矣。,Grothendick （公元1928）,在幾何的研究中，我們發現狄拉克在物理上發現的旋子在幾何結構中有魔術性的能力，我們不知道它的內在的幾何意義，它卻替我們找到幾何結構中的精髓，在應用旋子理論時，我們常用的手段是通過所謂消滅定理而完成的，這是一個很微妙的事情，我們製造了曲率而讓曲率自動發酵去證明一些幾何量的不存在，可謂無我之境矣。以前我提出用Einstein結構來證明代數幾何的問題和用調和映射來看研究幾何結構的剛性問題也可作如是觀。,卡拉
16、比-丘成桐 空间,六、數學的品評,好的工作應當是文已盡而意有餘，大部份數學文章質木無文，流俗所好，不過兩三年耳。但是有創意的文章，未必為時所好，往往十數年後始見其功。 我曾經用一個嶄新的方法去研究調和函數，以後和幾個朋友一同改進了這個方法，成為熱方程的一個重要工具。開始時沒有得到別人的讚賞，直到最近五年大家才領會到它的潛力。然而我們還是鍥而不捨地去研究，覺得意猶未盡。,白居易說謝朓的詩麗而無諷。其實建安以後，綺麗為文的作者甚眾。亦自有其佳處，畢竟鍾爃評謝朓詩為中品，以後六朝駢文、五代花間集以至近代的鴛鴦蝴蝶派都是綺麗為文。雖未殝上乘，卻有賞心悅目之句。,白居易 （公元772）,數學華麗的作品可從泛函分析這種比較廣泛的學問中找到，雖然有其美麗和重要性，但與自然之道總是隔了一層。舉例來說，從函數空間抽象出來的一個重要概念叫做巴拿赫空間，在微分方程學有很重要的功用，但是以後很多數學家為了研究這種空間而不斷的推廣，例如有界算子是否存在不變空間的問題，確是漂亮，但在數學大流上卻未有激起任何波瀾。,巴拿赫 （公元1892）,在七十年代，高維拓樸的研究已成強弩之末，作品雖然
