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1、1 / 12 20092010 学年度高三数学（人教版 A 版）第一轮复习资料 第 33 讲 圆锥曲线方程及性质圆锥曲线方程及性质 一一 【课标要求课标要求】 1了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、 几何图形及简单性质； 3了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质 二二 【命题走向命题走向】 本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一 般有 23 道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和 性质，从近十年
2、高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有 稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基 本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法矚慫润厲钐 瘗睞枥庑赖。 对于本讲内容来讲，预测 2010 年： （1）1 至 2 道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题； （2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。 三三 【要点精讲要点精讲】 1椭圆 （1）椭圆概念 平面内与两个定点 1 F、 2 F的距离的和等于常数（大于 21 |FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个 定点叫做椭圆的焦点
3、，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有 21 | 2MFMFa聞創沟燴鐺險爱氇谴净。 椭圆的标准方程为： 22 22 1 xy ab （0ab）（焦点在 x 轴上）或1 2 2 2 2 b x a y （ 0ab）（焦点在 y 轴上）。 注：以上方程中, a b的大小0ab，其中 222 cab； 在 22 22 1 xy ab 和 22 22 1 yx ab 两个方程中都有0ab的条件，要分清焦点的位置， 只要看 2 x和 2 y的分母的大小。例如椭圆 22 1 xy mn （0m ，0n ，mn）当mn时 表示焦点在x轴上的椭圆；当mn时表示焦点在y轴上的椭圆残骛楼諍锩瀨濟
4、溆塹籟。 （2）椭圆的性质 范围：由标准方程 22 22 1 xy ab 知|xa，|yb，说明椭圆位于直线xa ， yb 所围成的矩形里； 对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点( , )x y在曲线上时，点 ( ,)xy也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于 y轴对称。若同时以x代替x，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。酽锕极額閉镇桧 猪訣锥。 所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心， 椭圆的对称中心叫椭圆的中心；彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。 2 / 12 顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与
5、x轴、y轴的交点坐标。在椭 圆的标准方程中，令0 x ，得yb ，则 1(0, )Bb， 2(0, ) Bb是椭圆与y轴的两个交点。 同理令0y 得xa ，即 1( ,0)Aa， 2( ,0) A a是椭圆与x轴的两个交点。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋 薔。 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段 21 A A、 21 B B分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和 b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在 22 Rt OB F中， 2 |OBb， 2 |OFc， 22 |B Fa，且 222 2222 |
6、OFB FOB，即 222 cac； 离心率：椭圆的焦距与长轴的比 c e a 叫椭圆的离心率。0ac，01e，且 e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接 近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，0c ，两焦点重合， 图形变为圆，方程为 222 xya。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。 2双曲线 （1）双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（ 12 | 2PFPFa）。 注意：（*）式中是差的绝对值，在 12 02|aFF条件下； 12 | 2PFPFa时 为双曲线的一支（含 2 F的一支） ； 21 |
7、 2PFPFa时为双曲线的另一支（含 1 F的一支） ； 当 12 2|aFF时， 12 | 2PFPFa表示两条射线；当 12 2|aFF时， 12 | 2PFPFa不表示任何图形；两定点 12 ,F F叫做双曲线的焦点， 12 |FF叫做焦 距。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。 椭圆和双曲线比较： 椭 圆双 曲 线 定义 1212 | 2 (2|)PFPFaaFF 1212 | 2 (2|)PFPFaaFF 方程 22 22 1 xy ab 22 22 1 xy ba 22 22 1 xy ab 22 22 1 yx ab 焦点(,0)Fc(0,)Fc(,0)Fc(0,)Fc 注意：如何有方程确定焦
8、点的位置！ （2）双曲线的性质 范围：从标准方程1 2 2 2 2 b y a x ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线 ax的外侧。即 22 ax ，ax 即双曲线在两条直线ax的外侧。 对称性：双曲线1 2 2 2 2 b y a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是 双曲线的对称轴，原点是双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线 的中心。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。 顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的方程里， 对称轴是, x y轴，所以令0y得ax，因此双曲线和x轴有两个交点
9、) 0 , () 0 , ( 2 aAaA ，他们是双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的顶点。籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。 3 / 12 令0 x，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点。 1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点） ，双曲线的 顶点分别是实轴的两个端点。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。 2）实轴：线段 2 AA叫做双曲线的实轴，它的长等于2 , a a叫做双曲线的实半轴长。 虚轴：线段 2 BB叫做双曲线的虚轴，它的长等于2 , b b叫做双曲线的虚半轴长渗釤呛俨匀谔 鱉调硯錦。 渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为 双曲线
10、的渐近线。从图上看，双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐 接近。铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。 等轴双曲线： 1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：xy ；（2）渐近线互相垂直 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线 为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。 3）注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：)0( 22 yx ，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上 注意1 916 22 yx 与 22 1 916 yx 的区别：三个量,
11、,a b c中, a b不同（互换）c相同， 还有焦点所在的坐标轴也变了。 3抛物线 （1）抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直 线 l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。 方程02 2 ppxy叫做抛物线的标准方程。 注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是 F（ 2 p ,0） ，它的准线 方程是 2 p x； （2）抛物线的性质 一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛 物线的标准方程还有其他几种形式：pxy2 2 ，p
12、yx2 2 ，pyx2 2 .这四种抛物线 的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。 标准方程 2 2 (0) ypx p 2 2 (0) ypx p 2 2 (0) xpy p 2 2 (0) xpy p 图形 焦点坐标(,0) 2 p (,0) 2 p (0,) 2 p (0,) 2 p o Fx y l ox y F l x y o F l 4 / 12 准线方程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 范围0 x 0 x 0y 0y 对称性x轴x轴y轴y轴 顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0) 离心率1e 1e 1e 1e 说明：（1）通径：
13、过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的 特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强 调p的几何意义：是焦点到准线的距离。蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。 四四 【典例解析典例解析】 题型 1：椭圆的概念及标准方程 例 1求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是( 4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10； （2）两个焦点的坐标分别是(0, 2)、(0,2)，并且椭圆经过点 3 5 (, ) 2 2 ； （3）焦点在x轴上，:2:1a b ，cb； （4）焦点在y轴上， 22 5ab，且过点(2,
14、0)； （5）焦距为b，1ab； （6）椭圆经过两点 3 5 (, ) 2 2 ，( 3, 5)。 解析：（1）椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为 22 22 1 xy ab （0ab） ， 210a ，4c ， 222 9bac， 所以，椭圆的标准方程为 22 1 259 xy 。 （2）椭圆焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为 22 22 1 yx ab （0ab） ， 由椭圆的定义知， 2222 353531 2()(2)()(2)10102 10 222222 a ， 10a ，又2c ， 222 1046bac， 所以，椭圆的标准方程为 22 1 106 yx 。 （3）6c ，
15、 222 6abc， 又由:2:1a b 代入得 22 46bb， 2 2b ， 2 8a ，又焦点在x轴上， 所以，椭圆的标准方程为 22 1 82 xy 。 （4）设椭圆方程为 22 22 1 yx ab ， 5 / 12 2 2 1 b ， 2 2b ， 又 22 5ab， 2 3a ， 所以，椭圆的标准方程为 22 1 32 yx （5）焦距为6，3c ， 222 9abc，又1ab，5a ，4b ， 所以，椭圆的标准方程为 22 1 2516 xy 或 22 1 2516 yx （6）设椭圆方程为 22 1 xy mn （,0m n ） ， 由 22 35 ()( ) 22 1 35
16、 1 mn mn 得6,10mn， 所以，椭圆方程为 22 1 106 yx 点评：求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程 间的关系 例 2 （1） （06 山东）已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（23，0） ，且长轴长是 短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是。買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。 （2） （06 天津理，8）椭圆的中心为点( 10)E ，它的一个焦点为( 3 0)F ，相应于 焦点F的准线方程为 7 2 x ，则这个椭圆的方程是（）綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。 22 2(1)2 1 213 xy 22 2(1)2 1 213 xy 2 2 (1) 1 5 x y 2 2 (1) 1 5 x y 解析：（1）已知 2 2 2 2 222 4 2 ,2 3 161 164 ( 2 3,
