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1、1,今日课题,第六章 插值法 第八章 数值积分与数值微分 8.1 Newton-Cotes求积公式 8.2 复合求积公式 8.5 Gauss型求积公式 8.5.1 Gauss型求积公式 8.5.2 Gauss型求积公式的稳定解的收敛性 8.5.3 Gauss-Legendre求积公式 8.5.4 Gauss-Chebyshev求积公式,2,8.5 Gauss 型求积公式（1）,Newton Cotes 求积公式 其中求积节点 是等距分布的。 为Cotes求积系数。 En(f) 为积分余项。,3,8.5 Gauss 型求积公式（2）,利用定理8.1.5可知，当 n 为偶数时，Newton-Cot
2、es求积公式的代数精度为 n+1， 例如，Simpson公式的代数精度为3； 当n为奇数时，Newton-Cotes求积公式的代数精度为 n， 例如梯形公式的代数精度为1。 由此可见，n+1 个等距节点的求积公式的代数精度至多为 n+1。,4,8.5 Gauss 型求积公式（3）,对于给定的节点数目 n+1，适当调整其位置，是否会提高求积公式的代数精度？ 例8.5.1 对于求积公式 试确定其节点 x0, x1 及求积系数 A0, A1，使其代数精度尽可能高,5,8.5 Gauss型求积公式（4）,解 令上述求积公式对于 f(x)=1, x, x2, x3 准确成立，得出,6,8.5 Gauss
3、 型求积公式（5）,经计算，取节点为 且 A0=A1=1 得出求积公式 具有三次代数精度,7,8.5 Gauss 型求积公式（6）,2 个节点，代数精度能够为 3， 那么 n+1 个节点 x0, x1, , xn，通过节点的排列， 是否可以把代数精度从 n 或 n+1 增加到 2n+1 ?,8,8.5.1 Gauss 型求积公式（7）,考虑定积分 其中 (x) 为 a, b 上的权函数，设 n+1 个节点为 a x0 x1 xn =b 在节点上 f(x) 的值为 f(x0), f(x1), , f(xn),9,8.5.1 Gauss 型求积公式（8）,由此可以构造 n 次 Lagrange 插
4、值多项式 Ln(x) ， Ln(xk) = f (xk) , k=0,1,n 其中,10,8.5.1 Gauss 型求积公式（9）,f(x) 可以表示为 由 (x) 乘上式并在区间 a, b 上积分，有,11,8.5.1 Gauss 型求积公式（10）,其中 可以看出，取 f(x) 为 1, x, ,xn 时，式中的余项 此时有 即求积公式至少具有 n 次代数精度。,12,8.5.1 Gauss 型求积公式（11）,通过节点 x0, x1, ,xn 的选取, 将讨论求积公式的代数精度 n 次 或 n+1次 提高到 2n+1 次。 设 f(x) 为 2n+1次多项式， 有 En(f)=0， 那么
5、求积公式 至少具有 2n+1 次代数精度。,13,8.5.1 Gauss 型求积公式（12）,考察误差 En(f) 的表达式，当 fP2n+1 时， f(n+1)(x) 为 n 次多项式。 若要求 相当于要求 n+1(x) 与每个 p pn 都正交。 如果 n+1(x) 取为 a,b 上以权函数 (x) 的n+1 次正交多项式，那么就有上式。,14,8.5.1 Gauss 型求积公式（13）,定理8.5.1 插值型求积公式 具有 2n+1 次代数精确度的充分必要条件是 求积公式的节点 x0, x1, , xn 是 a, b 上，权函数为 (x) 的 n+1 次正交多项式 的零点.,15,8.5
6、.1 Gauss 型求积公式（14）,定义8.5.1 若 n+1 个节点的求积公式 具有最高代数精度为 2n+1 ， 则称其为 Gauss 型求积公式， 此时的节点 x0, x1, , xn 称为 Gauss点。,16,8.5.1 Gauss 型求积公式（15）,例8.5.3 确定Gauss求积公式 中的节点 x0 , x1 及求积系数 A0 , A1,17,8.5.1 Gauss 型求积公式（16）,解 这里采用 Gauss 求积公式来做。 x0, x1 是 -1,1 上，权函数 (x) 1 的二次正交多项式的零点。 而 -1,1 上， (x) 1 的二次正交多项式为二次Lagrange多项
7、式,18,8.5.1 Gauss 型求积公式（17）,P2(x) 的两个零点 由于求积公式是 3 次代数精度，因此对于 f(x)=1, f(x)=x 求积公式准确成立，这样得到,19,8.5.1 Gauss 型求积公式（18）,定理8.5.2 设 fC2n+2 a,b，那么Gauss型求积公式的余项表达式为 其中a, b, n+1(x) = (x-x0)(x-x1)(x-xn),20,今日课题,第八章 数值积分与数值微分 8.1 Newton-Cotes求积公式 8.2 复合求积公式 8.5Gauss型求积公式 8.5.1 Gauss型求积公式 8.5.2 Gauss型求积公式的稳定解与收敛性
8、 8.5.3 Gauss-Legendre求积公式 8.5.4 Gauss-Chebyshev求积公式,21,8.5.2 Gauss 型求积公式的稳定性与收敛性（1）,在Newton-Cotes求积公式中， 当 n8 时，求积系数可以出现负值，从而导致计算的不精确。 对于Gauss求积公式的系数具有下面定理。 定理8.5.3 设 为Gauss型求积公式， 那么其求积系数 Ak, k=0,1,n 皆为正。,22,8.5.2 Gauss 型求积公式的稳定性与收敛性（2）,为讨论 Gauss 求积公式在数值计算中的稳定性，引入记号 定理8.5.4 设 为 f(xk) 的近似值 则有,23,8.5.2
9、 Gauss 型求积公式的稳定性与收敛性（3）,关于Gauss 求积公式 的收敛性有如下定理，上式中特别标出了求积系数与节点和 n 有关。,24,8.5.2 Gauss 型求积公式的稳定性与收敛性（4）,定理8.5.5 设 f C a, b 令 则有,25,今日课题,第八章 数值积分与数值微分 8.1 Newton-Cotes求积公式 8.2 复合求积公式 8.5Gauss型求积公式 8.5.1 Gauss型求积公式 8.5.2 Gauss型求积公式的稳定解与收敛性 8.5.3 Gauss-Legendre求积公式 8.5.4 Gauss-Chebyshev求积公式,26,8.5.3 Gaus
10、s-Legendre求积公式（1）,设区间 a,b=-1,1, 在 -1,1 上的权函数 (x)1， 那么相应的正交多项式为 Legendre多项式 Pn(x),27,8.5.3 Gauss-Legendre求积公式（2）,设 fC-1,1，那么Gauss型求积公式为 其中 Gauss 点 x0, x1, , xn 为 n+1 次legendre 多项式 Pn+1(x) 的零点。 上述求积公式称为Gauss-Legendre求积公式。,28,8.5.3 Gauss-Legendre求积公式（3）,n=0, 此时仅有一个节点，P1(x)=x 的零点为 0 因此 x0=0 代数精度为1，令 f(x
11、)=1 有 2 = A0 求积公式为,29,8.5.3 Gauss-Legendre求积公式（4）,n=1 在上例中已给出 n=2, 此时有3个节点，它们是三次Legendre多项式 的零点， n=2 的求积公式代数精度为5,30,8.5.3 Gauss-Legendre求积公式（5）,依次令 f(x)=1, x, x2, 得到 从而得出，,31,8.5.3 Gauss-Legendre求积公式（6）,求积公式为 Gauss-Legendre求积公式中节点为Legendre多项式的零点，其求积系数 Ak (0, 1, ，n)：,32,8.5.3 Gauss-Legendre求积公式（7）,一般
12、地，Gauss-Legendre求积公式中的Gauss点 xk 及求积系数 Ak 可查表得到， Gauss-Legendre求积公式的误差:,33,8.5.3 Gauss-Legendre求积公式（8）,例8.5.4 用两个节点的 Gauss-Legendre 求积公式计算 的近似值。,34,8.5.3 Gauss-Legendre求积公式（9）,解 P2(x)=0 的零点为 同样，可查表计算,35,8.5.3 Gauss-Legendre求积公式（10）,积分准确值 用梯形公式计算有 T(f) = 1.333 333 3 用 Simpson 公式计算有 S(f) = 1.111 111 1
13、可以看出，Gauss-Legendre 求积公式相对较为精确。,36,8.5.3 Gauss-Legendre求积公式（11）,对于任意区间 a, b 上的定积分， 必须用变量替换的方法把区间 a, b 变换到 -1, 1上. 令,37,8.5.3 Gauss-Legendre求积公式（12）,则有 从而得到,38,8.5.3 Gauss-Legendre求积公式（13）,例 8.5.5 用 n=1 和 n=2 计算 的近似值。 解 首先把区间0,1 变换到 -1, 1,39,8.5.3 Gauss-Legendre求积公式（14）,n=1, 查表得,40,8.5.3 Gauss-Legend
14、re求积公式（15）,n=2, 查表得 定积分,41,今日课题,第八章 数值积分与数值微分 8.1 Newton-Cotes求积公式 8.2 复合求积公式 8.5Gauss型求积公式 8.5.1 Gauss型求积公式 8.5.2 Gauss型求积公式的稳定解郁收敛性 8.5.3 Gauss-Legendre求积公式 8.5.4 Gauss-Chebyshev求积公式,42,8.5.4 Gauss-Chebyshev求积公式（1）,设区间 a, b=-1, 1，在 -1, 1 上的权函数 那么相应的正交多项式为Chebyshev多项式 Tn(x)=cos (n arcosx), n=0,1,43
15、,8.5.4 Gauss-Chebyshev求积公式（2）,fC-1,1， 则 Gauss 型求积公式为 其中 Gauss 点x0 , x1 , xn 为 n+1 次Chebyshev多项式 Tn+1(x) 的零点。 n+1 次 Chebyshev 多项式零点为,44,8.5.4 Gauss-Chebyshev求积公式（3）,求积系数为 Gauss-Chebyshev 求积公式的余项为 。 Gauss-Chebyshev 求积公式可以用来求含有因子 的奇异积分的近似值。,45,8.5.4 Gauss-Chebyshev求积公式（4）,例8.5.6 用 n=2 的 Gauss-Chebyshev 求积公式计算 解：,46,8.5.4 Gauss-Chebyshev求积公式（5）,上面求积公式的代数精度为 2n+1=5 因此上式准确成立，即,47,8.5.4 Gauss-Chebyshev求积公式（6）,例8.5.7 用的Gauss-Chebyshev 求积公式计算 的近似值。,48,8.5.4 Gauss-Chebyshev求积公式（7）,解 节点和求积系数同上例,49,Quiz (1),用两点及三点 Gauss-Legendre 公式计算积分,50,Quiz (2),用5点的 Gauss-Chebyshev 公式计算下列积分：,51,The End,Thank you !,
