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1、第12讲三角函数定义及运用（教师版）一学习目标：1理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义2.三角函数线及运用。二重点难点：1.重点：三角函数的定义及应用。2.难点：三角函数值符号的确定三角函数线的应用。三知识梳理：1.任意角的三角函数:任意角的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin y，cosx，tan .三个三角函数的初步性质如下表：矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin RcosRtan |k，kZ2. 三角函数值的符号各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦3.三角函数线:如下图，设角的
2、终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点T.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。三角函数线()()()()有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线4，几点注意：1对角概念的理解要准确(1)不少同学往往容易把“小于90的角”等同于“锐角”，把“090的角”等同于“第一象限的角”其实锐角的集合是|090，第一象限角的集合为|k360k36090，kZ残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等2对三角函数的理解要透彻三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角
3、(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数，也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围酽锕极額閉镇桧猪訣锥。如tan 有意义的条件是角终边上任一点P(x，y)的横坐标不等于零，也就是角的终边不能与y轴重合，故正切函数的定义域为.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。3 三角函数线是三角函数的几何表示(1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负(2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负(3)当角的终边在x轴上时，点T与点A重合，此时正切线变成了一个点，当角的终边在y轴上时，点T不存在，即正切线不存在謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。(4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以
4、从图形角度考察任意角的三角函数，即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方厦礴恳蹒骈時盡继價骚。四典例剖析：题型一 任意角三角函数的定义例1判断题：(1)已知sin0，cos0，则是第一象限角()(2)角终边上点P的坐标为，那么sin，cos；同理角终边上点Q的坐标为(x0，y0)，那么siny0，cosx0.()茕桢广鳓鯡选块网羈泪。(3)若点P在角的终边上，且|OP|2，则点P的坐标为(1，)()鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。答案 (1)(2)(3)解析 (1)由sin0知，终边在第一象限或第二象限，或x轴，或y轴的非负半轴上；由cos0知，终边在第一象限或第四象限，或y
5、轴，或x轴的非负半轴上故终边在第一象限，或x轴的非负半轴上，或y轴的非负半轴上籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。(2)点P在单位圆上，所以sin，cos；而Q(x0，y0)不一定在单位圆上，所以siny0，cosx0不一定成立預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。(3)根据三角函数的定义，x|OP|cos21.y|OP|sin2，P点的坐标为(1，)渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。例2（1）已知角的终边经过点P(m，3)，且cos，则m等于AB.C4 D4自主解答由题意可知，cos ，又m0时，r5t，sin，cos，tan；驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。当t0时，r5t，sin，cos，tan.猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。(2)设90180，
6、角的终边上一点为P(x，)，且cosx，求sin与tan的值；锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。解析：(1)r，cos，从而x，解得x0或x.構氽頑黉碩饨荠龈话骛。90180，当x时r2，sin，輒峄陽檉簖疖網儂號泶。tan.当 时，sin= ，tan不存在。尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。例4 角终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a0)，角终边上的点Q与A关于直线yx对称，求sin cos sin cos tan tan 的值识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。解析由题意得，点P的坐标为(a，2a)，点Q的坐标为(2a，a)所以，sin ，cos ，凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。tan 2，sin ，cos ，恥諤銪灭萦欢煬鞏
7、鹜錦。tan ，故有sin cos sin cos tan tan 鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。(2)1.硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。课堂小结：任意角的三角函数值与终边所在的位置有关，与点在终边上的位置无关，故要首先判定P点所在的象限，确定r，最后根据定义求解阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。课堂练习1：（1）点P从(1,0)出发，沿单位圆x2y21逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。A. B.釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。C. D.怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。解析设POQ，由三角函数定义可知，Q点的坐标(x，y)满足xcos ，ysin ，x，y，Q点的坐标为.答案A谚辞調担鈧谄动禪泻類。（2）已
8、知角的终边上有一点P(x，1)(x0)，且tanx，求sin，cos.答：的终边过点(x，1)(x0)，tan，又tanx，嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩。x21，x1.当x1时，sin，cos；熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库。当x1时，sin，cos.鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞。（3）已知角的顶点在原点，始边为x轴非负半轴，终边在直线ykx上，若sin ，且cos 0，求实数k.纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛。解：由sin 0，cos 0，知位于第二象限，故k0，设P(x，kx)(x0)是终边上一点，则sin k2.颖刍莖蛺饽亿顿裊赔泷。题型二 三角函数符号例5（1） 已知cos tan 0，tan 0，则在第四象限；若cos
9、 0，则在第三象限，选C.(2) 已知点P(tan，cos)在第三象限，则角的终边在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解：点P在第三象限，tan0，且cos0；推理：由tan0，知的终边在第二或第四象限，由cos0，知的终边在第二或第三象限，或x轴的非正半轴上；结论：的终边在第二象限选B。濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻。（3）sin 2cos 3tan 4的值()A小于0 B大于0 C等于0 D不存在解析sin 20，cos 30，tan 40，sin 2cos 3tan 40.答案A銚銻縵哜鳗鸿锓謎諏涼。（4）若是第三象限角，则下列各式中不成立的是()Asin cos 0 Btan sin 0Ccos tan 0 Dtan sin 0答案B解析在第三象限，sin 0，cos 0，则可排除A、C、D，（5）若是第二象限角，试判断的符号；2k2k (kZ)，1cos 0,4k24k2 (kZ)，挤貼綬电麥结鈺贖哓类。1sin 20，sin(cos )0，0.的符号是负号赔荊紳谘侖驟辽輩袜錈。课堂练习2：（1）给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若sin sin ，则与的终边相同
