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1、高中立体几何典型500题及解析(四)(151200题)151. 已知E、F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是（ ）ABCD解析：C如图，为所求的二面角的平面角。可利用求求出DG的长度，则所求函数值可求。152. 与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是_解析：如图中，截面ACD1和截面ACB1均符合题意要求，这样的截面共有8个；ABDCA1B1D1C1153. 已知矩形ABCD的边AB=1，BC=a，PA平面ABCD，PA=1，问BC边上是否存在点Q，使得PQQD，并说明理由.解析：连接AQ，因PA平面A
2、BCD，所以PQQDAQQD，即以AD为直经的圆与BC有交点当AD=BC=aAB=1,即a1时，在BC边上存在点Q，使得PQQD；5分当0a1时，在BC边上不存在点Q，使得PQQD154. 如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=D是CB延长线上一点，且BD=BC.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。 （）求证：直线BC1/平面AB1D； （）求二面角B1ADB的大小； （）求三棱锥C1ABB1的体积.（）证明：CD/C1B1，又BD=BC=B1C1， 四边形BDB1C1是平行四边形， BC1/DB1.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，直线BC1/平面AB1
3、D.5分残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。（）解：过B作BEAD于E，连结EB1， B1B平面ABD，B1EAD ，B1EB是二面角B1ADB的平面角， BD=BC=AB， E是AD的中点， 在RtB1BE中，B1EB=60。即二面角B1ADB的大小为6010分（）解法一：过A作AFBC于F，B1B平面ABC，平面ABC平面BB1C1C，AF平面BB1C1C，且AF=即三棱锥C1ABB1的体积为15分 解法二：在三棱柱ABCA1B1C1中，即为三棱锥C1ABB1的体积155. 已知空间四边形ABCD的边长都是1，又BD=，当三棱锥ABCD的体积最大时，求二面角BACD的余弦值酽锕极額閉镇桧猪訣锥。解析：如
4、图，取AC中点E，BD中点F，由题设条件知道 （1）BED即二面角BACD的平面角3分（2）当AF面BCD时，VABCD达到最大6分彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。这时ED2=AD2-AE2=1-AE2=1-=1-=1-，又 BE2=ED2， cos12分AEBFDC156. 有一矩形纸片ABCD，AB=5，BC=2，E，F分别是AB，CD上的点，且BE=CF=1，把纸片沿EF折成直二面角謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。（1）求BD的距离；（2）求证AC，BD交于一点且被这点平分解析：将平面BF折起后所补形成长方体AEFD-A1BCD1，则BD恰好是长方体的一条对角线（1）解：因为AE，EF，EB两两垂直，所以B
5、D恰好是以AE，EF，EB为长、宽、高的长方体的对角线，6分（2）证明：因为ADEF，EFBC，所以ADBC所以ACBD在同一平面内，且四边形ABCD为平行四边形所以AC、BD交于一点且被这点平分157.已知BCD中，BCD=90，BC=CD=1，AB平面BCD，ADB=60，E、F分别是AC、AD上的动点，且（）求证：不论为何值，总有平面BEF平面ABC；（）当为何值时，平面BEF平面ACD？证明：（）AB平面BCD，ABCD，CDBC且ABBC=B，CD平面ABC.3分又不论为何值，恒有EFCD，EF平面ABC，EF平面BEF,不论为何值恒有平面BEF平面ABC（）由（）知，BEEF，又平
6、面BEF平面ACD，BE平面ACD，BEAC.8分BC=CD=1，BCD=90，ADB=60，由AB2=AEAC 得故当时，平面BEF平面ACD.12分158. 设ABC内接于O，其中AB为O的直径，PA平面ABC。如图求直线PB和平面PAC所成角的大小159. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知P，Q，R，S分别为棱A1D1，A1B1，AB，BB1的中点，求证：平面PQS平面B1RC.(12分)厦礴恳蹒骈時盡继價骚。证明：连结BC1交B1C于O，则O为BC1的中点连结RO，AC1，R是AB的中点 ROAC1P,Q分别为A1D1，A1B1的中点，易知A1C1PQAC1PQ（三垂线定
7、理）160. 把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角BACD，E、F分别为AD、BC的中点，O为正方形的中心，求折起后EOF的大小茕桢广鳓鯡选块网羈泪。证明：过F作FMAC于M，过E作ENAC于N，则M，N分别为OC、AO的中点解析：161. 如图，正方体AC1中，已知O为AC与BD的交点，M为DD1的中点。（1）求异面直线B1O与AM所成角的大小。（2）求二面角B1MAC的正切值。（14分）解析：方法二：取AD中点N，连结A1N，则A1N是B1O在侧面ADD1A1上的射影.易证AMA1NAMB1O（三垂线定理）（2）连结MB1，AB1，MC，过O作OHAM于H点，连结B1H，B1O平面MA
8、C，B1HO就是所求二面角B1MAC的平面角.162. 在正方体AC1中，E为BC中点（1）求证：BD1平面C1DE；（2）在棱CC1上求一点P，使平面A1B1P平面C1DE；（3）求二面角BC1DE的余弦值。（14分）解析：163.如图，立体图形V-ABCD中，底面是正方形ABCD，其他四个侧面都是全等的正三角形，画出二面角V-AB-C的平面角，并求它的度数鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。解：设底面边长为a，则侧面三角形的边长也为a取AB的中点E，DC中点F，连VE、EF侧面VAB是正三角形，VEAB又EFBC，BCAB，EFABVEF就是V-AB-C的平面角cosVEF164. 已知二面角a-l-b
9、是45角，点P在半平面a内，点P到半平面b的距离是h，求点P到棱l的距离籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。解：经P作PBb于B，经P在平面a内作PAl于A连AB，则ABlPAB就是二面角的平面角，PAB45那么在RtPAB中，PBh，PAh165. 自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线，求证：它们所成的角与这个二面角的平面角互补证明：如图PQb，PQAB，PRa，PRAB，则AB面PQR经PQR的平面交a、b于SR、SQ，那么ABSR，ABSQQSR就是二面角的平面角因四边形SRPQ中，PQSPRS90，因此PQSR180166. 一张菱形硬纸板ABCD的中心是点O，沿它的一条对角线AC对折，使B
10、ODO，这时二面角B-AC-D是多少度？要使二面角B-AC-D为60，点B和D间的距离应是线段BO的几倍？預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。解：因ABCD是菱形，故ACBD沿对角线AC折为空间图形后BOAC，DOACBOD就是二面角B-AC-D的平面角因BOOD，故BOD90，即二面角B-AC-D是90要使二面角B-AC-D为60因BOOD，故BOD是等边三角形，此时BDBO167.四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB垂直面ABCD，证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。解析：注意到题目中所给的二面角，面PAD与面PCD的棱为PD，围绕PD而
11、考虑问题解决途径证法一：利用定义法经A在PDA平面内作AEPD于E，连CE因底是正方形，故CDDACEDAED，AEEC，CEDAED90，则CEPD故CEA是面PAD与面PCD所成二面角的平面角设AC与BD交于O，连EO，则EOAC因OAa，AEADacosAEC0所以面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90证法二：运用三垂线法PB面ABCD，则PBAD，又ADAB，AD面PAB，即面PAB面PAD过B作BEPA，则BE面PAD在面PBC内作PGBC，连GD经C作CF面PAD于F，那么连结EF，有EFAD经F作FHPD于H，连CH，则FHC是所求二面角平面角的补角因CFFH，故FHC是锐角则
12、面PAD与面PCD所成二面角大于90此结论证明过程中与棱锥高无关证法三：利用垂面法找平面角在证法一所给图形中连AC、BD，因ACBD，PB面ABCD，ACPD经A作AEPD于E，那么有PD面AEC，连CE，即PDCE故PD与平面AEC垂直后，面AEC与面ADC及面ADP的交线EA、EC构成角CEA就是二面角的平面角铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。以下同证法一168. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，求平面EB1C和平面ABCD所成二面角的大小擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。解：EB1C在底面ABCD内的射影三角形为RtABC因E点射影为A，B1点射影为B设正方体棱长为a，则SABCa2又在EB1C中，B1Ea，B1Ca，ECa，故cosB1ECsinB1ECSaaa2设面B1C和面ABCD所成的二面角为q，则cosq那么所求二面角的大小为arccos评述：此题属无棱二面角问题，图中没有二面角的棱，我们也可以去找到棱来解决，但这里通过射影而直接求角更方便SSABC，S贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。169. 一个平面将空间分成几部分？二个平面将空间分成几部分？三个平面将空间分成几部分？解析：2部分，或部分，或或或部分cbal170. 如图：已知直线l与平
