《部分初代附标准答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《部分初代附标准答案（59页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题一证明1.1定理1自然数的相等关系具有反身性、对称性和传递性。对任何，有对任何，若则对任何，若则证明：设都是有限集，因因所以，若则若，则因此，若则证明1.1定理2 对任何，当且仅当时对任何，若则对任何，若中有且只有一个成立。证明：设都是有限集，当时，由定义2的知 再由定义2的知；反之，当时，由定义2的知 再由定义2的知.若则存在集合，使得，因此，有集合且有再由 因此， 首先证明中至多有一个成立。若同时成立。当时，由定义2的知 ，若也同时成立，则有，由传递性知与是有限集矛盾。若同时成立。当时，由定义2的知 ，若也同时成立，由定义2的知，也就是，这就有，又因此，与是有限集矛盾若同时成立。当时，
2、由定义2的知 ，若也同时成立，则有，由传递性知与是有限集矛盾。再证中总有一个成立。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。由定义2集合之间的关系，总有一个成立，因此，中总有一个成立。证明1.1定理3自然数的加法满足交换律与结合律。证明：设是有限集，且由 可得由 可得证明1.1定理7设，且（加法单调性） （乘法单调性）证明：设是不相交的有限集，由，存在集合使得，这就有，因此，。当时设因此，即就是再由交换律求适合的一切集合，以及它们的基数的和。解：满足上述条件的集合：，其基数分别是：2，3，3，3，4，4，4，5这些集合设 6 .求证 证明：因 所以， 又则则 因此，把个互不相等的自然数排成一个级方阵，取每行数的最
3、大数，得个数，设其中最小的一个是；再取每列中的最小数，又得个数，设其中最大的一个是，试比较和的大小。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。证明：将个互不相等的自然数排成一个级方阵如下不妨设，由题设，由传递性，即 用自然数的顺序理论证明：证明：证明：证明1.2定理3自然数加法满足交换律。 即 则 证明：任意，设使交换律成立的自然数组成的集合为时，取这时，假设，则即对任意当交换律成立，因此，假设，即对任意，于是 即，由归纳公理证明1.2定理4自然数的乘法唯一存在。证明：证明：唯一性任意取定，假设有两个乘法和，对任何，分别有，设使得成立的所有.组成的集合为且（只要证明即可）由定义3中的，得所以，即假设，即 .由加法
4、单调性再由定义3中.于是.由皮亚诺公理即对任意的，乘法和是相同的.存在性：设使乘法存在的集合为且（只要证）当时，对任意，规定：.即有因满足乘法定义，所以假定 即对任意的，有，且有这时对任意，只要规定：（规定对应法则）因此有 （1）（第一步是由规定） （2）（第一步是由规定、第二步是假设； 又 第一步加法结合律；第二步加法交换律；第三步加法定义；第四步加法结合律；第五步加法结合律；第六步加法交换律；第七步加法定义；第八步是由规定对应法则残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。所以（因满足上面的（1）、（2）即乘法定义），由皮亚诺公理 因此，对任意，乘法存在.证明1.2定理7自然数的乘法满足结合律。证明：任意设使成
5、立的一切自然数组成的集合为由自然数乘法定义，得 即假设，则成立。于是，再由乘法定义，得即，由归纳公理已知 ，求证；证明：；证明：证明：设试把的元素按照由小到大的次序写出来。解：由得， 由得， 又由传递性，得证明1.2定理9若 ，则当时，当时，当时，证明：这是分段式命题，只要证明其逆命题为真即可，用反证法当时，。若不然。当时，存在，使因此，即矛盾。当时，存在，使因此，即矛盾。由全序性知成立。当时，。若不然当时，存在，使因此，即矛盾。当时，即矛盾。由全序性知成立由（1）、（2）及全序性知（3）成立。证明1.2定理10若 ，则当且仅当时，当且仅当时，当且仅当时，证明：这是分段式命题，用反证法证明下面
6、命题成立即可。当时，当时，当时，（1）若则存在，使，代入中，得，由此得到即，矛盾。若则存在，使代入中，得，由此得即，矛盾。由此，（2）若则存在，使，代入中，得，由此得到，矛盾。 若代入中，得矛盾 由此 再由（1）、（2）及全序性知（3）成立。已知 ，求证证明：（加法单调性）（加法单调性）（加法交换律）（传递性）证明：（乘法单调性）（乘法单调性）（乘法交换律）（传递性）证明1.2定理12对任意，必有使证明：取，因，所以于是， 即 设求的最小值。证明1.2定理14 对任何，当且仅当时，如果存在，那么它是唯一的。证明：当时，由知；若，由自然数的大小定义，则存在，使得 再由自然数的减法定义知，即下证唯
7、一性：假设有且不妨设，因此存在，使于是，因此 ，矛盾。同理不可能，唯一性得证。证明1.2定理15设，则的必要条件是，如果商存在，那么它是唯一的。证明：因 时，对任何当 时，当 时，这时 即 时，商不存在。下证唯一性：设有，但若则 ，于是 即 若则，于是即 21.考察下列等式试猜想一个一般公式，并加以证明。解：时，表示为时，表示为时，表示为根据上述规律猜想：时，证明：用数学归纳法当时， 命题显然成立。当时，假设命题成立。即 于是当时由数学归纳法知，猜想正确。22.证明：可以把任意个正方形剪开拼成一个正方形证明：用数学归纳法当时，由勾股定理的图形证法可知任意两个正方形可以剪开拼成一个正方形因此，命
8、题显然成立。当时，假设命题成立。当时从个正方形中任意取出个，由归纳假设它们可以剪开拼成一个正方形，这时它与余下的一个正方形，再由勾股定理的图形证法可知这两个正方形可以剪开拼成一个正方形，即个正方形也可以可以剪开拼成一个正方形。由数学归纳法知：可以把任意个正方形剪开拼成一个正方形。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。23.对任意，规定（1） ，（2）求证： 其中证明：用数学归纳法当时，成立；假设时，则当时，对用数学归纳法。当时，成立假设时，则当时，由数学归纳法知对任意，证明：用数学归纳法。当时，成立；假设时，则当时，对用数学归纳法。当时，成立。假设时，则当时，由数学归纳法知对任意，证明：用数学归纳法。当时，成
9、立；假设时，则当时，由数学归纳法知对任意，24.已知是大于2的自然数，求证证明：用数学归纳法。当时，成立。假设时，当时由数学归纳法知25.证明：在个相等的小方格组成的棋盘上，任意挖去一个小方格后，总可以用由这样3个小方格构成的形块恰好铺满。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。证明：用数学归纳法当时，4个相等的小方格组成的棋盘上，任意挖去一个小方格后，恰好是这样3个小方格构成的形块，这时命题显然成立。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。假设时，命题成立。当时，由可知，这时的棋盘是由4个相等的组成的，任意挖去的一个小方格，必在这四个棋盘中的一个里，将没有挖去小方格的三个棋盘，每个从角上挖去一个小方格，由归纳假设这三个从角上挖
10、去一个小方格总能够用形块填满。再把这三个棋盘拼在一起，使三个挖去一个小方格的角相邻，这三个挖去的小方格恰好是这样3个小方格构成的形块，用这样的一个形块，恰好添满。将任意挖去一个小方格的棋盘，与其它三个棋盘，拼在一起是一个棋盘，由归纳假设，任意挖去一个小方格的棋盘，可以用3个小方格构成的形块添满，于是，任意挖去一个小方格的棋盘，总可以用由这样3个小方格构成的形块恰好铺满。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。由数学归纳法知，个相等的小方格组成的棋盘上，任意挖去一个小方格后，总可以用由这样3个小方格构成的形块恰好铺满。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。26.在一次象棋比赛中，每个参加者都和其它参加者比一局，证明：比赛结束后，
11、无论结果如何，总能把一切参加者排成一列，使其中没有人输给紧跟在他后面的人。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。证明：用数学归纳法当时，命题显然成立。当时，假设命题成立。当时，任意选出个人，先在这个人之间按规则比赛，由归纳假设总能把个参加者排成一列，使其中没有人输给紧跟在他后面的人。籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。 这时，第个人依次从前向后与这个人比赛，他最先赢了哪个对手，他就排这个对手的前面，并与之相邻。其他参加者的前后位置没有变化，他输给了与他相邻的前一个对手，因此，这个队列符合命题结论，即 当时，命题成立。由数学归纳法知任意个人比赛时，结论依然成立。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。27.证明：可以把自然数围成一圈，使每相邻
12、两数之差不超过2。证明：当时，将首尾相连，任意相邻两个数的差不超过2设时命题成立。当时，这时，需要将自然数插入到个自然数围成的圈中，使其命题成立，在由个自然数围成的圈中，考虑与左右相邻的两个自然数，只能是和（自然数的离散性），将插在与之间，满足条件，其它自然数的相邻关系没有变化，由归纳假设知个 自然数满足条件，由数学归纳法，对任意的自然数命题成立。渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。28.设是元素全为1的级方阵，求证证明：用数学归纳法当时， 命题显然成立。当时，假设命题成立。即 ，于是当时由数学归纳法，对任意的自然数命题成立。29.已知：；，求证：对任何，有 证明：当时由，得当时，假设对任意成立当时，对用数
13、学归纳法当时，即时，假设时，当时即时，命题成立。由数学归纳法知对任何都成立。30.设求证：证明：用数学归纳法当时，假设时，那么当时由数学归纳法知 对任意自然数成立。31.已知都是有限集，求证32.设是关于自然数的命题，证明：若由成立可以推出成立，则对一切自然数都不成立（无穷递降法）证明：设使成立的一切自然数所成的集合为，且非空，由最小数原理中有最小数，即成立，再由成立可以推出成立知，与假设且为中的最小数矛盾，因此，对一切自然数都不成立铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。33.现有111张卡片，在每一张卡片上都写上一个自然数，若这111个自然数的和小于3136，证明至少有3张卡片上的数字相等。擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。证明：为使这111个自然数的和尽可能的小，每个自然数都应尽可能的小.为此，将从1开始的自然数每两个相同的分成一组。如下贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。这111个数的和，若限定，则必须将上述某组中的至少一个较大的自然数换成较小的自然数，因为不管将哪个较大的数换成较小的数，这个较小的数就会出现3个，这3张卡片上的数字就会相同。坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。34.设平面内两两相交的个圆中，每三个都不共点，问这个圆把它们所在的平面分成多少个区域？证明你的结论。蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。35.设个球中每两个都相交一个圆，每三个都不过同一点，这个球把空间分成多少个区域？36.已知对任何，满足求证 证
