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1、第4章 控制系统的瞬态 响应分析,4.1 控制系统的瞬态响应分析,在输入量的作用下系统输出量随时间变化的规律称为系统的时间响应 系统的零状态响应。,系统的时间响应随时间的推移可分为瞬态过程和稳态过程。 瞬态过程又称为动态响应或瞬态响应，是系统伴随着输入外作用的变化 从一种稳定工作状态过渡到新的稳定工作状态这一时间历程中的响应。,系统的响应速度是指输出量跟随输入量变化的快慢程度。用时间参量来度量其大小。时间参量与系统的输入量和输出量有关。,例如，系统从接收到控制信号开始到稳定工作状态这一时间历程中的响 应和当扰动消失后系统重新恢复到原稳定工作状态这一时间历程中的响 应便是瞬态响应。,瞬态响应包含
2、系统稳定性、响应速度和阻尼情况等信息，这些信息反映 了系统的动态行为，这种动态行为称为系统的动态特性。以满足系统功 能要求为评价准则，系统动态特性的好坏决定着系统动态品质的优劣。,稳态过程又称为稳态响应，是系统在输入信号作用下当时间t趋于无穷大时的响应。,u (t)= 1 (t),4.1 控制系统的瞬态响应分析,稳态响应包含有系统稳态误差的信息，这些信息反映了系统的静态（稳态）行为，这种静态行为称为系统的静态特性或稳态特性。,4.2 一阶系统的瞬态响应,一个负实数极点,1一阶系统的数学模型,能用一阶微分方程描述其动态特性的系统称为一阶系统。,2一阶系统的单位阶跃响应,稳态分量,（1）,T愈小，
3、1/T愈大，极点至虚轴愈远， 瞬态分量衰减愈快，极点至虚轴愈近，瞬态分量衰减愈慢 。系统极点与瞬态分量之间存在一一对应关系，瞬态分量的衰减速度虽系统极点在复平面上位置的不同而不同。,瞬态响应由两部分构成，第一部分为常数1，它不随时间t的增大而变化，称为稳态分量；第二部分是指数衰减函数的负值，其幅值随时间t的增大不断衰减直至为0，称为瞬态分量。（e=2.7183）,瞬态分量衰减的快慢取决于衰减系数1/T，而1/T的大小又取决于时间常数T的大小。显然系统时间常数愈小，衰减系数就愈大，瞬态分量就衰减的愈快，因而瞬态响应分量持续时间就愈短，系统的响应速度就愈快。反之亦然。,2一阶系统的单位阶跃响应,（
4、2）,误差函数,稳态响应,稳态误差,随时间的延续，瞬态响应从初始值0开始以指数规律单调上升，但上升速率愈来愈小，响应曲线愈来愈平缓。输入量与输出量之差随时间的增大而变小，当时间趋于无穷时，瞬态过程结束，稳态过程开始，此后系统输出以稳态响应1而复现输入。,其变化率为指数衰减函数，它的值总为正，且随时间的增大而变小，表明响应曲线是单调上升的，但上升速率随时间增大而变小，响应曲线也愈来愈平缓。,系统的稳态响应就等于输入量，稳态输出复现输入,输入量与输出量之差随时间变化的关系,表示系统进入稳态后的误差,T系统响应从0上升到稳态值的63.2% 所历经的时间。,2一阶系统的单位阶跃响应,3一阶系统的单位斜
5、坡响应,稳态误差趋于T，T越小，动态性能越快，稳态误差越小，但不能消除。,初始速度：,稳态误差：,3一阶系统的单位斜坡响应,单位斜坡响应,3一阶系统的单位斜坡响应,一阶系统单位斜坡响应的稳态分量，是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上迟后时间常数T的斜坡函数。 该曲线的特点是：在t=0处曲线的斜率等于零； 稳态输出与单位斜坡输入之间在位置上存在偏差T。,3一阶系统的单位斜坡响应,4一阶系统的单位脉冲响应,由上面分析可知，一阶系统仅有一个特征参量T时间常数，调整时间为（3-4T） 当t=0时单位阶跃响应的变化率和单位脉冲响应的初始值均为1/T，单位斜坡响应的稳态误差为T。 T越小，系统的动、静态
6、性能越好。,1 二阶系统的数学模型,T时间常数、 阻尼比，n = 无阻尼自然频率 均为常数，其值和物理意义视不同的物理系统而定。,4.3 二阶系统的瞬态响应,能用二阶微分方程描述其动态特性的系统。,1 二阶系统的数学模型,对应于上式的系统微分方程为：,或,设二阶系统的两个极点为s1和s2，则传递函数可化为如下因式分解形式,下面具体讨论二阶系统的两极点s1和s2及与之对应的系统的传递函数。,1 二阶系统的数学模型,二阶系统的特征方程为：,该两个根是系统的特征根，也是系统传递函数的极点。其为：,上式表明：极点s1和s2的值只与阻尼比和无阻尼自然频率n这两个系统的结构特征参数有关，其类型视阻尼比的大
7、小要么是两个实数，要么是一对共轭复数。,1 二阶系统的数学模型,1）无阻尼（ =0）二阶系统,将 =0带入上式，得系统的两个极点为：,无阻尼二阶系统的传递函数为：,1 二阶系统的数学模型,2）欠阻尼（ 0 1）二阶系统,欠阻尼二阶系统的两个极点为：,欠阻尼二阶系统的传递函数为：,阻尼振荡频率 （阻尼自然频率）,1 二阶系统的数学模型,3）临界阻尼（ =1）二阶系统,临界阻尼二阶系统的两个极点为：,临界阻尼二阶系统的传递函数为：,临界阻尼二阶系统等价于串联的两个相同的一阶系统,1 二阶系统的数学模型,4）过阻尼（ 1）二阶系统,过阻尼二阶系统的两个极点为：,临界阻尼二阶系统的传递函数为：,过阻尼
8、二阶系统等价于串联的两个不同的一阶系统,（1）无阻尼 =0,2 二阶系统的单位阶跃响应,无阻尼二阶系统的单位阶跃响应以等幅振荡的方式变化，等幅振荡的平均值为1，振荡频率为 ， 该频率是无阻尼二阶系统的单位阶跃响应的振荡频率，且其大小只与系统的结构特征参数有关，反映了系统本身的自然属性，故称为无阻尼自然频率。,=0,阻尼振荡频率 （阻尼自然频率）,（2）欠阻尼,（2）欠阻尼,稳态分量,（1）,稳态分量为常数1，不随时间t的增大而变化；瞬态分量随时间的推移以指数衰减伴正弦振荡方式变化，最终衰减为0.瞬态分量衰减的快慢和振荡特性的强弱取决于系统本身的结构特征参数和n，当n一定时， 的值愈大，指数衰减
9、函数 就衰减得愈快，与此同时，简谐振荡函数 的振荡频率 就愈小；反之的值愈大，指数衰减函数 就衰减得愈快，与此同时，简谐振荡函数 的振荡频率 就愈大。,表明当n 一定时，的值愈大，瞬态分量就衰减得愈快而振荡特性愈弱，反之， 的值愈小，瞬态分量就衰减得愈慢而振荡特性愈强。,考虑到瞬态分量的指数衰减系数n正好是系统闭环极点到其复平面虚轴的距离，振荡频率也正好是闭环极点到复平面实轴的距离，则得到：瞬态分量的衰减和振荡特性随系统极点在其复平面上位置的不同而不同。即：,在复平面上极点至虚轴愈远，在系统响应中瞬态分量就衰减的愈快；反之，极点至虚轴愈近，在系统响应中瞬态分量就衰减的愈慢。 在复平面上系统极点
10、至实轴的距离愈近，在系统响应中瞬态分量的振荡特性就愈弱，反之，系统极点到实轴的距离愈远，在系统响应中瞬态分量的振荡特性就愈强。,在描述系统极点的复平面上，正好是极点复矢量与负实轴的夹角， 在角度只与阻尼有关，称为阻尼角,（2）,阻尼振荡频率（阻尼自然频率），其大小只与系统本身的结构特征参数有关，反映了系统的自然属性。,（3）,（4）,稳态响应,在许多时间区间内，系统的瞬态响应值超过稳态值，称为超调现象。,（3）临界阻尼=1,瞬态分量,稳态分量,（3）临界阻尼=1,（4）过阻尼 1,极点至虚轴愈远，瞬态分量衰减愈快，极点至虚轴愈近，瞬态分量衰减愈慢,u (t),y ( t ),系统的瞬态响应性能
11、指标,1 上升时间, 定义 对于其单位阶跃响应具有超调特性的系统，,单位阶跃响应的瞬态值从0第一次上升到稳态值的100%所经历的时间,在 时刻,取其中最小值,对于其单位阶跃响应无超调特性的系统，,单位阶跃响应的瞬态值从 稳态值的10%上升到稳态 值的90%所经历的时间,2 峰值时间,定义 系统的单位阶跃响应的瞬态值从0上升到 第一个峰值所经历的时间,u( t )=1 ( t ),y( t,u( t )=1 ( t ),在 时刻,取其中最小值,y( t,u( t )=1 ( t ),y( t,u( t )=1 ( t ),3 最大超调量,和最大百分比超调量,系统单位阶跃响应的最大值与稳态值二者相
12、对差值的百分数,y( t,当稳态响应等于1时,4 调整时间,稳态值允许误差的百分数,y( t )=1 ( t ),y,反映了过渡过程的振荡程度和瞬态响应的平稳性及相对稳定性 其值愈小，过渡过程振荡程度愈弱而系统相对稳定性愈高； 其值愈大，过渡过程振荡程度愈强而系统相对稳定性愈低。,反映瞬态响应时间历程的长短和瞬态响应速度的快慢 它们的值愈小，系统瞬态响应历经时间就越短而响应速度就愈快； 它们的值愈大，系统瞬态响应历经时间就越长而响应速度就愈慢。,也能反映瞬态响应时间历程的长短和瞬态响应速度的快慢,当n一定时，最大百分比超调量随的增大而减小，而峰值时间和上升时间 随的增大而增大，所以不能使系统的
13、相对稳定性和响应速度同时得到改善。,讨论,当n一定时，在的某些取值范围，调整时间随的增大而增大，而最大百分比超调量总是随的增大而减小，,例,试确定开环增益K和常数 k h,使最大百分比超调量等于0.2，峰值时间等于1秒，并计算,解：,=0.456,=3.53,f(t)=8.9 (N),例,解：,解：,=0.6,解：,4.4 高阶系统单位阶跃响应的一般规律,1 三阶系统单位阶跃响应的一般规律,瞬态分量,对应于极点,瞬态分量,对应于极点,（1）,极点至虚轴愈远，瞬态分量衰减愈快， 极点至虚轴愈近，瞬态分量衰减愈慢,靠近虚轴的极点作用大于远离虚轴的极点,若,（2）瞬态分量的初值与零点有关,一对负实数
14、零点极点位置重合,若,（2）瞬态分量的初值与零点有关,一对共轭复数零点极点位置重合,D 0,位置重合的一对零、极点对瞬态响应的作用相互完全抵消， 因此，由它们构成的传递函数因子称为系统的零、极相消因子,若,一对负实数零点极点位置相邻,作用很小，可忽略,若,一对共轭复数零点极点位置相邻,D 0,作用很小，可忽略,位置非常靠近的一对零、极点对瞬态响应的作用 近似相互抵消，这样的一对零、极点称为偶极子,如果距离虚轴最近的极点（一对共轭复数或一个实数）周围没有零点， 且其它极点到虚轴的距离是该极点到虚轴的距离的5倍以上，那么与 该极点对应的瞬态分量，不仅其初值的绝对值较大而且衰减速度也 最慢，对瞬态响应的影响最大，起着决定性的支配作用。这样的极点 称为闭环主导极点,2 系统的闭环主导极点,共轭复数闭环主导极点,实数闭环主导极点,当高阶系统存在一对共轭复数闭环主导极点时，其动态特性 就类似于二阶系统的动态特性。,2 系统的闭环主导极点,如果高阶系统存在一个负实数闭环主导极点，则其动态特性 就类似于一阶系统的动态特性。,一阶系统的单位阶跃响应,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应,系统的闭环主导极点,系统极点与瞬态响应间的关系及零点对瞬态响应的影响,瞬态响应指标,本章重点及要求,作业：,4.1 4.2 4.3 4.4 4.5,
