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1、完全平方公式的几何背景专题训练试题精选 一选择题（共6 小题） 1 （ 2010?丹东）图是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图中的阴影部分拼成图的形状，由图和图能 验证的式子是（） A （m+n） 2（ mn）2=4mn B （m+n）2（ m2+n2） =2mn C （ m n）2+2mn=m2+n2 D （m+n） （ m n）=m 2n2 2利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b） 2=a2+2ab+b2你根据图乙能得到的数学公式是（ ） A （a+b） （ab）=a2b2B（a b） 2=a22ab+b2 Ca（ a+b）
2、 =a 2+ab Da（a b）=a2ab 3如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（） A a2b2=（a+b） （a b） B（a+b）2=a2+2ab+b2 C（ab）2=a 2 2ab+b2 Da（a+b）=a2+ab 4如图（ 1） ，是一个长为2a宽为 2b（a b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩 形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（） A ab B（a+b）2 C（ab）2Da2b2 5如图的图形面积由以下哪个公式表示（） 2 A a 2b2=a（a b）+b（a b） B（a b） 2=a22ab+b2 C（a+b） 2=
3、a2+2ab+b2 Da2b2=（a+b） （ab） 6如果关于x 的二次三项式x 2mx+16 是一个完全平方式，那么 m 的值是（） A 8 或 8 B8C8 D无法确定 二填空题（共7 小题） 7 （2014?玄武区二模）如图，在一个矩形中，有两个面积分别为a 2、b2（a0，b0）的正方形这个矩形的面积 为_（用含 a、b 的代数式表示） 8如图，边长为（m+2）的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无 缝隙） ，若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是_ （用含 m 的代数式表示） 9有两个正方形A，B，现将 B 放在 A 的内部得图甲，将A，B 并
4、列放置后构造新的正方形得图乙若图甲和图 乙中阴影部分的面积分别为1 和 12，则正方形A，B 的面积之和为_ 10如图 1 和图 2，有多个长方形和正方形的卡片，图1 是选取了2 块不同的卡片，拼成的一个图形，借助图中阴 影部分面积的不同表示可以用来验证等式a（a+b）=a2+ab 成立根据图 2，利用面积的不同表示方法，写出一个代 数恒等式_ 3 11如图，正方形广场的边长为a米，中央有一个正方形的水池，水池四周有一条宽度为的环形小 路，那么水池的面积用含a、b 的代数式可表示为_平方米 12如图，请写出三个代数式（a+b） 2、 （ab）2、ab 之间的等量关系是 _ 13如图， 长为 a
5、，宽为 b 的四个小长方形拼成一个大正方形，且大正方形的面积为64，中间小正方形的面积为16， 则 a=_，b=_ 三解答题（共10 小题） 14阅读学习： 数学中有很多等式可以用图形的面积来表示如图1，它表示（ m+2n） （ m+n）=m2+3mn+2n 2， （1）观察图2，请你写出（ a+b） 2， （ ab）2，ab 之间的关系 _ （2）小明用8 个一样大的长方形， （长为 a，宽为 b） ，拼成了如图甲乙两种图案，图案甲是一个正方形，图案甲中 间留下了一个边长为2 的正方形；图形乙是一个长方形 a2 4ab+4b2= _ab=_ 4 15 【学习回顾】我们已经知道，根据几何图形的
6、面积关系可以说明完全平方公式，说明如下： 如图 1， 正方形 ABCD 的面积 =正方形 EBNH 的面积 + （长方形 AEHM 的面积 +长方形 HNCF 的面积）+正方形 MHFD 的面积即： （a+b） 2 =a2+2ab+b2 【思考问题】还有一些等式也可以用上述方式加以说明，请你尝试完成 如图 2，长方形 ABNM 的面积 =长方形 EBCF 的面积 +长方形 AEFD 的面积长方形HNCF 的面积_ 的面积，即： （2ab） （a+b）=_ 【尝试实践】计算（2a+b） （a+b） =_仿照上述方法，画图并说明 16阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积
7、，可以得到一个数学等式，例如由图 1 可以得到（ a+2b） （a+b）=a2+3ab+2b2请解答下列问题： （1）写出图2 中所表示的数学等式_； （2）利用（ 1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求 a2+b2+c2的值； （3）图 3 中给出了若干个边长为a 和边长为b 的小正方形纸片若干个长为a 和宽为 b的长方形纸片，利用所给 的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2+5ab+2b2=（2a+b） （a+2b） 5 17如图 1，将一个长为4a，宽为 2b 的长方形，沿图中虚线均匀分成4 个小长方形，然后按图2 形
8、状拼成一个正 方形 （1）图 2 的空白部分的边长是多少？（用含ab 的式子表示） （2）若 2a+b=7，且 ab=3，求图 2 中的空白正方形的面积 （3）观察图2，用等式表示出（2ab）2，ab 和（ 2a+b） 2 的数量关系 18动手操作： 如图是一个长为2a，宽为 2b 的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图所示拼成 一个正方形 提出问题： （1）观察图，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积； （2）请写出三个代数式（a+b） 2， （ ab）2， ab 之间的一个等量关系 问题解决： 根据上述（ 2）中得到的等量关系，解决下列问题： 已知： x+y=6 ，
9、xy=3求： （xy） 2 的值 6 19图是一个长为2a，宽为 2b 的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方 形 （1）将图中所得的四块长为a，宽为 b 的小长方形拼成一个正方形（如图）请利用图中阴影部分面积的不 同表示方法，直接写出代数式（a+b） 2、 （ab）2、ab 之间的等量关系是 _； （2）根据（ 2）题中的等量关系，解决如下问题：已知m+n=8 ，mn=7，则 mn=_； （3）将如图所得的四块长为a，宽为 b 的小长方形不重叠地放在长方形ABCD 的内部（如图） ，未被覆盖的部 分（两个长方形）用阴影表示若左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4，且小长方形的周长为8，则
10、每一个 小长方形的面积为_ 20把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规 则图形的面积 （1）如图 1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c 的正方形， 试用不同的方法计算这个 图形的面积，你能发现什么结论，请写出来 （2）如图 2，是将两个边长分别为a 和 b 的正方形拼在一起，B、C、G 三点在同一直线上，连接BD 和 BF，若两 正方形的边长满足a+b=10， ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？ 7 21阅读材料并填空： 我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式样也可以
11、用这种形式表示， 如： （2a+b） （a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图（1） ，或图（ 2）等图形的面积表示 请你写出图（ 3）所表示的代数恒等式_ 请你写出图（ 4）所表示的代数恒等式_ 8 22图 1 是一个长为2x、宽为 2y 的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后按图2 所示拼 成一个正方形 （1）你认为图2 中的阴影部分的正方形的边长等于_ （2）试用两种不同的方法求图2 中阴影部分的面积 方法 1：_；方法 2：_ （3）根据图2 你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式：（ x+y） 2， （xy）2，4xy _ （4）根据（ 3）题中的等
12、量关系，解决如下问题： 若 x+y=4 ，xy=3，则（ x y） 2= _ 23已知图甲是一个长为2m，宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四小块长方形，然后按图乙的形状拼 成一个正方形 （1）你认为图乙中阴影部分的正方形的边长等于多少？_ （2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积 方法一：_；方法二：_ （3）观察图乙，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ （m+n） 2； （mn）2； mm （4）根据（ 3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=8，ab=5，求（ a b） 2 的值 9 完全平方公式的几何背景专题训练试题精选 参考答案与试题解析 一选择题（共6
13、小题） 1 （ 2010?丹东）图是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图中的阴影部分拼成图的形状，由图和图能 验证的式子是（） A （m+n） 2 （ m n）2=4mn B（m+n）2 （m2+n2） =2mn C（mn）2+2mn=m2+n2 D（m+n） （mn）=m 2 n 2 考点 ： 完全平方公式的几何背景 菁优网版权所有 专题 ： 计算题；压轴题 分析：根据图示可知，阴影部分的面积是边长为m+n 的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2，即为对角线 分别是 2m，2n 的菱形的面积据此即可解答 解答：解： （m+n） 2（ m2+n2）=2mn 故选 B 点评：本题是利用几
14、何图形的面积来验证（m+n）2（ m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关 系列等式 2利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b） 2=a2+2ab+b2你根据图乙能得到的数学公式是（ ） A （a+b） （ab）=a2b2 B（a b） 2=a22ab+b2 Ca（ a+b） =a 2+ab Da（a b）=a2ab 考点 ： 完全平方公式的几何背景 菁优网版权所有 分析：根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小 正方形的面积 解答：解：大正方形的面积=（ ab）2
15、， 还可以表示为a22ab+b2， （ ab）2=a22ab+b2 故选 B 点评：正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式的理解能力 3如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（） 10 A a2b2=（a+b） （a b） B（a+b）2=a2+2ab+b2 C（ab）2=a 2 2ab+b2 Da（a+b）=a2+ab 考点 ： 完全平方公式的几何背景 菁优网版权所有 分析：根据图形得出阴影部分的面积是（ab）2和 b2，剩余的矩形面积是（ab）b和（ ab）b，即大阴影部分 的面积是（ ab） 2，即可得出选项 解答：解：从图中可知：阴影部分的面积是（a b） 2 和 b2，剩余的矩形面积是（ab）b 和（ ab）b， 即大阴影部分的面积是（ab） 2， （ ab）2=a22ab+b2， 故选 C 点评：本题考查了完全平方公式的应用，主要考查学生的阅读能力和转化能力，题目比较好，有一定的难度 4如图（ 1） ，是一个长为2a宽为 2b（a b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩 形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（） A ab B（a+b）2 C（ab） 2 Da 2b2 考点 ： 完全平方公式的几何背景 菁优网
