微积分思想与小学数学教师教学案

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1、教 案授课题目（教学章、节或主题）CH4微积分思想与小学数学课时安排：4授课时间：第周教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1.使学生理解极限思想、微分思想、积分思想及无穷级数求和的思想方法。2.初步掌握微积分的思想方法在小学数学中的渗透。教学重点：讲清极限思想、微分思想、积分思想及无穷级数求和的思想方法。讲清微积分思想方法在小学数学中的渗透。教学难点：微积分思想方法在小学数学中的渗透。教学过程：一.讲解极限思想例、求由抛物线、轴以及直线所围成的曲边三角形的面积。阶梯形面积二.讲解微分思想1.直线运动的速度设某点沿直线运动。在直线上引入原点和单位点（即表示实数1的点），使直线成为数轴。此

2、外，再取定一个时刻作为测量时间的零点。设动点于时刻在直线上的位置的坐标为（简称位置）。这样，运动完全由某个函数所确定。这函数对运动过程中所出现的值有定义，称为位置函数。在最简单的情形，该动点所经过的路程与所花的时间成正比。就是说，无论取哪一段时间间隔，比值经过的路程所花的时间总是相同的。这个比值就称为该动点的速度，并说该点作匀速运动。如果运动不是匀速的，那么在运动的不同时间间隔内，比值会有不同的值。这样，把比值笼统地称为该动点的速度就不合适了，而需要按不同时刻来考虑。那么，这种非匀速运动的动点在某一时刻（设为）的速度应如何理解而又如何求得呢？首先取从时刻到这样一个时间间隔，在这段时间内，动点从

3、位置移动到。这时由式算得的比值可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度。如果时间间隔选得较短，这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻的速度。但对于动点在时刻的速度的精确概念来说，这样做是不够的，而更确切地应当这样：令,取式的极限，如果这个极限存在，设为，即，这时就把这个极限值称为动点在时刻的（瞬时）速度。2.切线问题圆的切线可定义为“与曲线只有一个交点的直线”。但是对于其它曲线，用“与曲线只有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适。例如，对于抛物线，在原点处两个坐标轴都符合上述定义，但实际上只有轴是该抛物线在点处的切线。下面给出切线的定义。设有曲线及上的一点（图2-1），在点外另取上一点，作

4、割线。当点沿曲线趋于点时，如果割线绕点旋转而趋于极限位置,直线就称为曲线在点处的切线。这里极限位置的含义是：只要弦长趋于零，也趋于零。现在就曲线为函数的图形的情形来讨论切线问题。设是曲线上的一个点（图2-2），则。根据上述定义要定出曲线在点处的切线，只要定出切线的斜率就行了。为此，在点外另取上的一点，于是割线的斜率为，其中为割线的倾角。当点沿曲线趋于点时，。如果当时，上式的极限存在，设为,即存在，则此极限是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。这里，其中是切线的倾角。于是，通过点且以为斜率的直线便是曲线在点处的切线。事实上，由以及时，可见时（这时），。因此直线确为曲线在点处的切线。图2-2图2-1

5、我们撇开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性给出导数的概念。定义 设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即，也可记作，或。函数在点处可导有时也说成在点具有导数或导数存在。导数的定义式也可取不同的形式，常见的有和注：函数在一点的导数的几何定义：是曲线在点的切线斜率；路程对时间的导数是时刻的速度；在抽象情况下，表示在点变化的快慢。3. 函数的微分在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题：当自变量在点处有微小增量时，求函数相应的微小增量。图2.4这个问

6、题初看起来简单，然而，对于较复杂的函数，增量的值不易求出。这时我们可以考虑求的近似值，怎样求的近似值呢？微分就是在这种背景下产生的一个概念。3.1微分的定义：先分析一个具体问题。一个正方形的铁片，受热后均匀膨胀，边长由变为，问铁片的面积大体改变了多少？如图2.4所示,设正方形铁片的边长为，面积为，则，当边长由变为时，面积的改变量为。上式包含两个部分，第一部分是，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，是的线性函数，是的主要部分；第二部分是，即图中带有交叉斜线的小正方形的面积，当时，是比高阶的无穷小，是的次要部分。由此可见，如果边长有微小改变（即很小）时，我们可以将第二部分忽略，而用第一部分近似地表示

7、，即。因为，所以，即面积的增量近似等于面积函数的导数与边长增量之积。由此我们引入微分的定义。定义 设函数在点处可导，自变量由变到，则把叫做函数在点处相应于自变量增量的微分，记作或，即或.此时，也称函数在点处可微。函数在任意点的微分，叫做函数的微分，记作或，即或.例 求函数当时的增量和微分。解 函数的增量为， 函数的微分为，将代入，得.由上例结果可看出，误差是0.0001.对于函数，它的微分是，即.即自变量的微分等于自变量的增量。于是函数的微分可以写成，即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。从而有，即函数微分与自变量微分的商等于函数的导数，因此导数通常也叫做微商。 从上看到，若函数可导，

8、则函数必可微；反之，若函数可微，则函数必可导。因此，导数与微分是一致的，通常把导数和微分统称为微分。N）MT P PQ图2.5 微分的几何意义（15）如图2.5 ，设曲线在点的坐标为，过点作切线，它的倾角为，当自变量有微小的增量时，相应的曲线上纵坐标有增量，由图可看出因此，函数在点处微分就是曲线在点的切线上纵坐标的增量。 由图2.4还可看出，当很小时，（1）；（2）在点的附近，可以用切线段来近似代替曲线段，即所谓的“以直代曲”。三.讲解积分思想1.定积分的微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、近似代替、求和、取极限”四个步骤把所求的量表示为定积分的形式。为了更好地说明这种方法，我们先回

9、顾一下本章第一节中求由曲线及直线所围成的曲边梯形面积的方法与步骤：（1）分割 用个分点把分成长度为的个小区间，相应地，把曲边梯形分成个小曲边梯形，设第个小曲边梯形的面积记为，则可表示为.（2）近似代替 在每个小区间上任取一点，以为底、为高的小矩形的面积为，它近似等于第小曲边梯形的面积，即.（3）求和 把个小矩形的面积相加，得到曲边梯形面积的近似值为.(4) 取极限 对小矩阵形面积之和取极限得到曲边梯形的面积，即通过取极限由近似值过渡到精确值.其中。图5.15上述四个步骤中，关键是第（2）步，写出微小面积的近似值。由于分割的任意性以及取法的任意性，我们省掉下标,将记为，用表示a,b内任一小区间上

10、的小曲边梯形的面积，取的左端点小为，那么，以点处的函数值为高、为底的小矩形面积就是的近似值（图5.15），即其中称面积A的微元，记作，即从而有。此致，我们将曲边梯形的面积表示为一个定积分。从上面的讨论中，我们抽象出将某一所求量表示为定积分的方法如下： （1）确定积分变量及积分区间 根据具体问题，选取一个积分变量，例如选取为积分变量，并确定它的变化区间；（2）求量的微元 在内任取一个小区间，求出相应于这个区间上部分量的近似值，即求出所求量的微元，（3）用定积分表示量 根据写出表示量的定积分。上述将一个量表示为定积分的方法称为微元法.应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：（1）所求量关于区间应

11、具有可加性，即如果把区间分成许多部分区间，则相应地分成许多部分分量，而等于所有分量之和。（2）求量的微元要合理，使用微元法的关键在于正确给出部分量的近似表达式，即使得，在通常情况下，要检验是否为的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用中要注意的合理性。2、定积分在几何上的应用2.1. 平面图形的面积（1）由连续曲线，直线(ab)和x轴所围成的曲边梯形的面积.由定积分的几何意义我们知道：(0)， （5.2）或 (0). （5.3）（2）由两条连续曲线，()及两条直线 ()所围成的平面图形(图5.13)的面积。图5.16选取为积分变量，则积分区间为；在内任取一个小区间任取，对应的部分面积近似等于以为

12、高、为底的矩形的面积（图5.16），即面积微元为；所求图形的面积为. （5.4） 例 求椭圆所围成的图形的面积.图5.17解 如图5.17所示,位于第一象限的图形由曲线、直线及围成，根据公式（5.2）得，所以。注：的原函数参见第四章第二节例13；也可根据公式（5.4）得。例 求曲线，直线、及轴围成图形的面积.解 如图5.18所示，围成的图形包括和两个部分，根据公式（5.2）和（5.3），所求图形的面积为。图5.19图5.18例 求直线与抛物线围成图形的面积.解 公式法 直线与抛物线围成的图形如图5.19所示,联立方程组，解得：，。根据公式（5.4）得所求图形的面积为。图5.20微元法 选取为积

13、分变量，积分区间为；在内任取一个小区间，对应的部分图形的面积近似等于以为高、为底的小矩形的面积（图5.20），得到面积微元为，面积。（3）由两条连续曲线，及两条直线 (cd)所围成的平面图形的面积选取为积分变量，则积分区间为；在内任取一个小区间任取，对应的部分面积近似等于以为高、为底的矩形的面积（图5.21），即面积微元为；所求图形的面积为。 (5.5)图5.22图5.21例 求由抛物线=及直线所围成图形的面积.解 围成的图形如图5.22所示,联立方程组,解得，根据公式(5.5)，得。注：本例也可选取为积分变量，将图形分为两块，根据公式(5.4)求解，但计算过程较复杂。因此，用定积分求平面图形

14、的面积时，应恰当地选取积分变量，尽量使图形不分块或少分块.四.讲解无穷级数求和的思想方法化循环小数为分数13 / 13例 讨论、思考题、作业：小学数学教学中如何渗透极限思想、微分思想、积分思想及无穷级数求和的思想方法？参考资料（含参考书、文献等）：1数学思想方法与小学数学教学夏俊生。河海大学出版社。1998.12。授课类型（请打）：理论课（）讨论课（） 实验（训）课（）练习课（） 其他（）教学方式（请打）：讲授（） 讨论（）示教（） 指导（）其他（）教学资源（请打）：多媒体（） 模型（）实物（）挂图（）音像（） 其他（）填表说明：1、每项页面大小可自行添减；2、教学内容与讨论、思考题、作业部分可合二为一。