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1、数轴与绝对值一、绝对值定义：正数的绝对值是这个正数本身，负数的绝对值是这个负数的相反数, 零的绝对值是零。也就是说：一个数的绝对值是按照这个数的符号情况，来分类决定的。如 果用字母a表示这个数，那么用式子来表示就是：它本身，所以2(aZ0) a =-a(a0),a,（当a0时）a =扣，（当a=0寸）,因为零的相反数就是a,（当 a 0时）即：零和正数的绝对值是它本身，零和负数的绝对值是它的相反数。这里，a表示什么？如果它是2,结果怎样？如果是-3呢？如果是x -2 呢？如果没有告诉你x的取值范围，那么该如何化简|x-2 ?（示例）1例 1.解方程：（I）x+1 = x+1; （2）x+1 =
2、2x。解：（1）略； 1（2）当 x + 1 0,即 x 0,即 x - 1 时，原方程为 x + 1 = 2x, x = 1 ,1 原方程的根是x1 = -，x2 = 1。3指导学生：分析解题依据及步骤； 检查答案（2）的正确性。既然已经发现答案是错误的，那么可以肯定解答过程有误，请找出错误。指导语：在解这类含有绝对值的方程（或不等式）时，应注意：（1）需根据绝对值符号内的整体内容的符号来决定将绝对值符号去掉后 的内容，是原来的，还是其相反数。也就是说，要根据绝对值符号内 的整体的“零点”情况来划分自变量的取值范围，对方程（或不等式） 进行分类讨论。（2）要注意检查相应的“解”是否在相应讨论
3、的数的范围之内。（3） 当方程（或不等式）中含有多个绝对值时，应该针对所有的“零点” 来划分自变量的取值区间，对方程（或不等式）进行分类讨论。例 2.解方程：|x - 2|+|x + 3| = 6 .二、绝对值与相反数的几何意义1. 绝对值：|a| 数轴上，和数a对应的点与原点之间的距离。某数的绝对值越大，则在数轴上，与该数对应的点与原点之间的距离就越 大；反之，在数轴上，若某一点距原点越近，那么与之对应的数的绝对值就越 小。例 3.数a, b, c在数轴上对应位置如图，, .,化简：| a + b | + | b + c | - | c- a |。 a士 c2. 相反数：互为相反数的绝对值相
4、同，符号相反(或同为零)。绝对值相同 对应点和原点的距离相等；符号相反(或同为零) 对应点分居原点两侧(或同为原点)。例4.数a, b在数轴上的位置如图所示。试在数轴上标出-a和-b,并将这四 个数按从小到大的顺序用“ ”连接起来。一.，a 0b三、数与形1. 两数的和与差在数轴上的表示：数轴上，与数a对应的点记为A,与a+2对应的点记为B,贝U(1) 当a = 1时，标出点A与点B,两者的位置关系如何？当a = - 3时，点A与点B的位置关系乂怎么样？(2) 请观察A (2)、B (-3)和C (2-3)这三点之间的位置关系；(3) 从(1)和(2)中，你有什么发现？(4) 如果已经知道a,
5、 b在数轴上的位置，你能否作出与下列各数对应的 点？a + b, a - b, - a + b, 2a, 3a - 2b。2. |x - y|的几何意义：设A (2), B (-3), |2- (-3 ) |= ?线段AB的长(或A、B两点间的距离) 是多少？ | (-3) -2|= ?有什么发现？推广到一般情形：设A、B是在数轴上分别与实(有理)数a, b相对应的 点，则AB = |a - b| (视时间予以简单的口头证明，分类)。解释下列各式的几何意义：|x - 3| ; |x + 2| ; |x|。例2 (图象解法)。练习：1.解方程：(1) 2|x - 1|+ 7 = 4x -|x|; (2) |3x-2|-4x=3|2-3x|-6;(3) |2x - 1|+|x - 2| = |x + 1|; (4) |x - 2|+|x + 7| = 5。x +5 + y -2 =12. 解方程组! y2y =4 + 3x-153. 若有理数 a, b, c满足(a+2b+c)2 +|a-c+4|+|b-c|=0,(或改为实数 a, b, c 满足(a +2b 十c)2 +|a c+4 十Vb c =o ),试解方程 | ax - 1 |-| bx - 2 |-| x - c |= 0
