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1、板块五.微积分与定积分的应用知识内容1函数定积分：设函数定义在区间上用分点，把区间分为个小区间，其长度依次为记为这些小区间长度的最大值，当趋近于时，所有的小区间长度都趋近于在每个小区间内任取一点，作和式当时，如果和式的极限存在，我们把和式的极限叫做函数在区间上的定积分，记作，即其中叫做被积函数，叫积分下限，叫积分上限叫做被积式此时称函数在区间上可积2曲边梯形：曲线与平行于轴的直线和轴所围成的图形，通常称为曲边梯形根据定积分的定义，曲边梯形的面积等于其曲边所对应的函数在区间上的定积分，即求曲边梯形面积的四个步骤：第一步：分割在区间中插入各分点，将它们等分成个小区间，区间的长度，第二步：近似代替，
2、“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。第三步：求和第四步：取极限3求积分与求导数互为逆运算，即从到的积分等于在两端点的取值之差4微积分基本定理如果，且在上可积，则，其中叫做的一个原函数由于，也是的原函数，其中为常数一般地，原函数在上的改变量简记作，因此，微积分基本定理可以写成形式：典例分析题型一：定积分的概念【例1】 求围成图形面积【例2】 根据定义计算积分【例3】 根据定义计算定积分【例4】 根据定义计算积分【例5】 求定积分【例6】 等于（）ABCD【例7】 求定积分【例8】 由及轴围成的介于0与之间的平面图形的面积，利用定
3、积分应表达为_【例9】 图中阴影部分的面积总和可用定积分表示为（）ABCD【例10】 求曲线以及直线，所围成的图形的面积【例11】 已知函数，试用定积分表示与轴围成的介于与之间的平面图形的面积；结合的图象猜出的值；试将上述问题推广到一般的情况【例12】 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为和（如图所示）那么对于图中给定的和，下列判断中一定正确的是（）聞創沟燴鐺險爱氇谴净。A在时刻，甲车在乙车前面B时刻后，甲车在乙车后面C在时刻，两车的位置相同D时刻后，乙车在甲车前面【例13】 设为区间上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟方法近似计算积分，先
4、产生两组（每组个）区间上的均匀随机数，和，由此得到个点，在数出其中满足的点数，那么由随机模拟方法可得积分的近似值为残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。【例14】 （）ABCD【例15】 函数的图象与直线及轴所围成图形的面积称为函数在上的面积，已知函数在上的面积为，则函数在上的面积为_题型二：微积分基本定理【例16】 _【例17】 _【例18】 _【例19】 _【例20】 _【例21】 函数，求【例22】 下列等于1的积分是（）ABCD【例23】 （）ABCD【例24】 计算下列定积分的值：；【例25】 （）ABCD【例26】 曲线与坐标轴围成的面积是（）ABCD【例27】 =（）ABCD【例28】 （）AB
5、CD【例29】 【例30】 由曲线、直线、和轴围成的封闭图形的面积为【例31】 设函数若，则的值为_【例32】 若，则_【例33】 若，则等于（）ABC或D不确定【例34】 已知，则二项式展开式中含项的系数是【例35】 已知，若，则【例36】 求的值【例37】 ，则实数【例38】 的值等于（）ABCD【例39】 （）ABCD【例40】 ，则_【例41】 _【例42】 已知，且，求、的值【例43】 已知函数，则（）ABCD【例44】 试用定积分表示由直线，及轴围成的平面图形的面积，并求积分的值【例45】 试用定积分表示由直线，及轴围成的平面图形的面积，并求积分的值【例46】 从如图所示的长方形区
6、域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为【例47】 由曲线，围成的封闭图形面积为（）ABCD【例48】 设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数，则当函数时，定积分的值为（）ABCD【例49】 已知自由落体的速度为，则落体从到所走过的路程为（）ABCD【例50】 若，则实数的值为【例51】 由直线，曲线及轴所围图形的面积为（）ABCD【例52】 给出以下命题：若，则；的原函数为，且是以为周期的函数，则；其中正确命题的个数为（）A1 B2 C3 D0【例53】 给出下列四个命题：已知，点到直线的距离为1；若，则函数在取得极值；，则函数的值域为；在极坐标系中，点到直线的距离是其中真命题是（把你
7、认为正确的命题序号都填在横线上）【例54】 直线与抛物线所围成图形的面积为【例55】 如图，求曲线，及直线所围成的封闭图形的面积【例56】 求曲线与轴所围成的图形的面积【例57】 如图，求曲线及直线，所围成的图形的面积【例58】 求曲线以及直线所围成的图形的面积【例59】 已知为一次函数，且，则=_【例60】 已知为一次函数，且，则=_【例61】 设是二次函数，方程有两个相等的实根，且求的表达式；求的图象与两坐标轴所围成图形的面积若直线把的图象与两坐标轴所围形的面积二等分，求的值【例62】 求由抛物线与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值【例63】 抛物线在第一象限内与直线相切此抛物线与轴所围成的图形的面积记为求使达到最大值的、值，并求8 / 8
