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1、函数与导数综合题（文科）题型一：求函数的单调区间、极值、最值。此类问题按以下三个步骤进行解决：第一步：令得到两个根；第二步：列表；第三步：由表可知；例1.已知函数，是的一个极值点（）求的单调递增区间；（）若当时，恒成立，求的取值范围解：（）. 是的一个极值点，是方程的一个根，解得. 令，则，解得或. 函数的单调递增区间为，. （）当时，时，在（1，2）上单调递减，（2，3）上单调递增. 是在区间1，3上的最小值，且 . 若当时，要使恒成立，只需， 即，解得 . 2.设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线（）求的值；（）若函数，讨论的单调性（3）方程有两个不相等实根当函数当时，故上为减
2、函数时，故上为增函数特别说明：分类与整合，千万别忘了整合即最后要写“综上可知”，分类一定要序号化；3已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性.解（1）当所以因此,即曲线又所以曲线（2）因为,所以,令当时，所以当时，0，此时，函数单调递减；当时，0，此时，函数单调递增.当时，由，即，解得.当时，恒成立，此时，函数在（0，+）上单调递减;当时，时，,此时,函数单调递减时，0,此时,函数单调递增时，此时，函数单调递减 当时，由于,时，,此时,函数单调递减：时，0,此时,函数单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递减;函数在上单调递增当时,函数在上单调递减当时，函数在上单调
3、递减；函数 在上单调递增； 函数在上单调递减.题型二：已知函数在某个区间上的单调性、极值、最值，求参数的范围（1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：第一种：转化为恒成立问题即在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法；矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；聞創沟燴鐺險爱氇谴净。第三种方
4、法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别；残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。4.已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数（1） 若函数在处有极值，求的解析式；（2） 若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围解：，由有，即切点坐标为，切线方程为，或2分整理得或，解得，（1），在处有极值，即，解得，8分（2）函数在区间上为增函数，在区间上恒成立，又在区间上恒成立，即，在上恒成立，的取值范围是5.已知函数（1）当a=1时，求函数f(x)的极
5、值；（2）若函数f(x)在区间（0，1）上是单调增函数，求实数a的取值范围.解：（1）因为，所以当a=1时， 令则x=0，所以的变化情况如下表：x(-,0)0(0,+)f(x)-0+f(x)极小值所以x=0时，f(x)取得极小值f(0)=-1.因为函数f(x)在区间（0，1）上是单调增函数，所以对 恒成立 又，所以只要对恒成立，解法一：设，则要使对恒成立，只要成立，10分 即解得.12分解法二：要使对恒成立，因为，所以对恒成立，因为函数在（0，1）上单调递减，所以只要6.已知函数（1）若曲线在点处的切线斜率为-2，求a的值以及切线方程；（2）若是单调函数，求a的取值范围。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。
6、【解析】（）f(x)12ax2分由题设，f(1)2a2，a1，彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。此时f(1)0，切线方程为y2(x1)，即2xy205分（）f(x)，令18a当a时，0，f(x)0，f(x)在(0，)单调递减10分当0a时，0，方程2ax2x10有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1x2，则当x(0，x1)(x2，)时，f(x)0，当x(x1，x2)时，f(x)0，这时f(x)不是单调函数综上，a的取值范围是，)12分謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。7.已知函数的单调减区间为（0，4）（I）求的值；（II）若对任意的总有实数解，求实数的取值范围。解：（I） 又4分 （II）且12分8. 已知函数，
7、在点处的切线方程是（e为自然对数的底）。（1）求实数的值及的解析式；（2）若是正数，设，求的最小值；（3）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.解：（1）依题意有： fx）=alnx+a fe）=alne+a=2 ，a=1（e，f（e）在f（x）上 f（e）=aelne+b=ae+b=e，b=0故实数（2）， 的定义域为； 增函数减函数（3）由(2)知对一切恒成立故实数的取值范围.（2）函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；厦礴恳蹒骈時盡继價骚。第二步：由趋势图结合
8、交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可；9.已知函数是常数，且当和时，函数取得极值.（）求函数的解析式；（）若曲线与有两个不同的交点，求实数的取值范围.解：（）， 依题意，即解得（）由（）知，曲线与有两个不同的交点，即在上有两个不同的实数解5分设，则， 由0的或当时，于是在上递增；当时，于是在上递减. 依题意有实数的取值范围是. 10.已知函数，且在区间上为增函数（1） 求实数的取值范围；（2） 若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围解：（1）由题意在区间上为增函数，0在区间上恒成立即恒成立，又，故的取值范围为（2）设，令得或由（
9、1）知， 当时，在R上递增，显然不合题意当时，随的变化情况如下表：极大值极小值由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即，解得综上，所求的取值范围为题型三：函数的切线问题；问题1：在点处的切线，易求；问题2：过点作曲线的切线需四个步骤；第一步：设切点，求斜率；第二步：写切线（一般用点斜式）；第三步：根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：判断三次方程根的个数；茕桢广鳓鯡选块网羈泪。11.已知函数在点处取得极小值4，使其导数的的取值范围为，求：（1）的解析式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围解：（1）由题意得：在上；在上；在上因此在处取得极
10、小值，由联立得：，（2）设切点Q，过令，求得：，方程有三个根。需：故：；因此所求实数的范围为：12. 已知（为常数）在时取得一个极值， （1）确定实数的取值范围，使函数在区间上是单调函数； （2）若经过点A（2，c）（）可作曲线的三条切线，求的取值范围鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。解：（1）函数在时取得一个极值，且，或时，或时，时，在上都是增函数，在上是减函数使在区间上是单调函数的的取值范围是（3） 由（1）知设切点为，则切线的斜率，所以切线方程为：将点代人上述方程，整理得：经过点可作曲线的三条切线，方程有三个不同的实根 设，则，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。故得：
11、题型四：函数导数不等式线性规划精彩交汇；13.设函数，在其图象上一点处的切线的斜率记为 (1)若方程有两个实根分别为-2和4，求的表达式； (2)若在区间上是单调递减函数，求的最小值。解：（1）根据导数的几何意义知由已知-2，4是方程的两个实根由韦达定理，（2）在区间上是单调递减函数，所以在区间上恒有，即在区间上恒成立这只需满足即可，也即而可视为平面区域内的点到原点距离的平方由图知当时，有最小值13；14.已知函数（1）若图象上的是处的切线的斜率为的极大值。（2）在区间上是单调递减函数，求的最小值。解：（1）由题意得令由此可知13+00+极大值极小值9时取极大值（2）上是减函数上恒成立作出不等
12、式组表示的平面区域如图当直线经过点时 取最小值题型五：函数导数不等式数列的精彩交汇15.已知函数满足且有唯一解。（1） 求的表达式；（2）记，且，求数列的通项公式。（）记 ，数列的前项和为，求证解：(1)由 即 有唯一解又(2)由 又数列是以首项为，公差为(3)由=16.在数列中，且已知函（）在时取得极值.（）求数列的通项；（）设，且对于恒成立，求实数的取值范围解： () (1)0(an2an1)(3a n14an)0即an22an12(an12an) 又a22a14数列an12an是以2为公比，以4为首项的等比数列。an12an42n12 n1 且数列是首项为1，公差为1的等差数列，(n1)1n預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。 （）由， 令Sn|b1|b2|bn|2()23()3n()n渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。Sn()22()3(n1)()nn()n1铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。得Sn()2()3()nn()n+1n()n+121()nn()n+1擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。 Sn61()n3n()n+1要使得|b1|b2|bn|m对于nN恒成立,只须，所以实数的取值范围是.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。17. 已知函数为常数） （）若 （）若在和处取得极值，且在时，函数的图象在直线的下方，求的取值范围？解：（1）又x1，x2是函数f（x）的两个极值点，则x1，x2是的两根，（2）由题意，11
