堂讨论与作业

《堂讨论与作业》由会员分享，可在线阅读，更多相关《堂讨论与作业（59页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第一次课堂讨论与习题课第一章 数学基础1、条件期望设是两个随机变量，给定以后，的条件期望记为，这个条件期望是随机变量的函数，从而其自身也是一个随机变量。 如果已知条件期望和的边缘分布，则有， 即条件期望的期望等于无条件的期望，这个公式称为期望的累次法则或迭代期望法则。这个公式可以视为全概率公式的延伸。2、条件方差在风险理论里，还有一个利用条件期望计算方差的公式：这个公式被称为方差分解公式，即总的方差被分解为条件期望的方差和条件方差的期望之和。 首先利用期望累次法则计算在上式左端减去的平方，在右端减去的平方，即得到上述方差分解公式。3、矩母函数和母函数(1)特征函数：或者(2)矩母函数： 或者(

2、3)母函数： 或者 这几个函数具有下列关系：4、矩母函数的性质（1）若随机变量X的各阶原点矩存在，则（2）若随机变量的期望和方差都存在，则第二章 个体保单的理赔额1、保单限额：是指每次保险事故中按保单约定的最高赔付额。理赔额其中理赔额的概率密度函数：理赔额的分布函数：定义（有限期望函数）：设是一个随机变量，给定实数，则有限期望函数被定义为：式中与分别为随机变量的分布函数与密度函数。是的增函数，且当时，有对于非负随机变量，理赔额的数学期望：2、免赔额当损失额低于某一限额时，保险公司不予赔偿，而当损失额高于此限额时，保险公司只赔付高出的部分。每次损失事故中，被保险人获得的实际赔付额为：矚慫润厲钐瘗

3、睞枥庑赖。 因为只有当时，被保险人才会提出索赔，因此对于保险人来说，每次损失事件中的理赔额为：理赔额的分布是在的条件下，的分布，因此理赔额的分布函数为：而当时，。因此的概率密度函数为：由于，因此被保险人获得实际赔付额的数学期望为：保险人理赔额的数学期望则为若保单同时规定保单限额和免赔额，则赔付额为因此，每次损失事件中，被保险人的实际赔付额的数学期望为：而保险人理赔额的数学期望则为：习题2.2 假设某险种的实际损失额的分布函数为。已知免赔额为30，求每次损失事故中的平均赔付额。【解】其中：从而，赔付额的数学期望为：3、停止损失再保险(Stop Loss Reinsurance)当保险事故造成的损

4、失额可能非常巨大时，一个保险公司往往不敢独自承担这样的巨额风险，保险监管机构也不允许这样做，因为一旦损失时间发生就会造成保险公司的财物困难甚至破产。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。1、1981年，由中国人民保险公司承保的“莲花城”号轮船在新加坡爆炸，受损2100万美元；2、1990年，广州白云机场的空难事件中，三架波音飞机相撞，赔偿金额9000万美元。地震灾害造成的生命和财产损失更是难以估量，因此我国保险法第103条规定：“保险公司对每一危险单位，即对一次保险事故可能造成的最大损失范围所承担的责任，不得超过其实有资本金加公积金总和的百分之十；超过的部分应当办理再保险。”残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。保险法中第2

5、8条、第29条、第30条规定了再保险分出人、再保险接受人各自承担的责任，特别规定“再保险分出人不得以再保险接受人未履行再保险责任为由，拒绝履行或者延迟履行其原保险责任。”酽锕极額閉镇桧猪訣锥。“停止损失再保险”也被叫做限额损失再保险，是再保险中比较常见的一种形式。停止损失再保险中，再保险承受人承担的风险为：彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。其中为总的理赔额。从这个数学模型可以看出，再保险承受人只承担超出部分，而再保险分出人自留的风险为：从上述模型可以看出，再保险承受人承担的风险类似于免赔额的形式，而再保险分出人自留的风险相当于限额损失的形式。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。 无论对原保险人还是再保险人，都必须研究自

6、留多少、分保多少的问题，即自留额的确定问题。 设总理赔额的分布函数为，则再保险人所承担风险的数学期望为：而原保险人自留风险的数学期望为：可以证明，停止损失再保险，不仅使原保险人自留风险的方差最小，而且使其期望效用最大。其它任何再保险方案都不能使二者同时达到最优。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。第三章 个体风险模型1、 个体风险模型：设，其中代表第张保单可能发生的理赔额，并且该模型满足下列假定：（1） 相互独立；（2） 每张保单至多发生一次理赔；（3） 保单总数是固定的，即模型是封闭的。2、 个体风险模型中的分布（1） 卷积方法 两个相互独立连续随机变量和的卷积公式 两个相互独立离散随机变量和的卷积公式：

7、（2） 矩母函数法根据概率论中的逆转公式求出的分布。（3） 近似方法根据中心极限定理，假设独立同分布，且有，则当时，将随机变量标准化后，有：3、 两个重要的概率公式若，则有。【习题3.2】某保险公司承保了两个保险标的，它们的理赔额随机变量分别为，相互独立，令，求。【解】【例题1】设某保险公司共售出汽车保单2500张，保单持有者被分成两类，情况如下表所示：类型每类人数理赔概率理赔额的分布1250020000.100.05122.55.0其中理赔额服从参数为的截尾指数分布，即它的概率密度函数为：要求收取的保费总额低于理赔总额的概率不超过5%，试计算安全附加保费率。解：用表示理赔总额，题目要求保费总

8、额低于理赔总额的概率不超过5%，意思是指将标准化后，有由标准正态函数表查得，因此问题归结为计算的问题。其中代表第类保单理赔额的数学期望和方差。由给出第四章 聚合风险模型【知识要点】一、聚合风险模型，其中代表保险期内所有保单发生理赔的次数，代表第次发生理赔时的理赔额，代表保险期内的理赔总额。聚合风险模型基于以下假设（1）理赔次数与各理赔额之间是相互独立的；（2）对不同的，理赔额是独立且同分布的。二、理赔次数和理赔额的分布（1） 泊松分布：，（2） 负二项分布：，, 【注】负二项分布可以看作是泊松分布的一种推广。假设泊松参数也是一个随机变量，且有密度函数，由全概率公式，得理赔次数的分布为：特别当的

9、密度函数为伽马分布时，服从参数的负二项分布。（3） 理论上任何分布都可作为理赔额的分布。常用的有指数分布、伽马分布、均匀分布等。三、 理赔总额的分布（复合分布）1、理赔总额的数字特征2、理赔总额的分布特征 计算分布函数的卷积法与矩母函数法。四、 复合泊松分布 在聚合风险模型中，当服从泊松分布时，的分布就称为复合泊松分布。由于泊松分布的数学期望和方差均等于其参数，即，茕桢广鳓鯡选块网羈泪。将其代入前面的公式，得到其中分别是理赔额的一阶和二阶原点矩。理赔总额的矩母函数为：关于泊松分布的几个定理：（1） 可加性定理：如果是相互独立且服从参数为的复合泊松分布，理赔额的分布为，则服从参数的复合泊松分布，

10、且个别理赔额的分布为。（2） 分解性定理：理赔总额是一个复合泊松分布，参数为。若个体理赔额是一个离散分布：则理赔总额随机变量可以表示为，且相互独立并服从参数泊松分布。五、 聚合理赔量的正态近似（1） 为复合泊松分布，其参数为，则当时，有 其中分别为个别理赔额的均值和方差。（2） 为复合负二项分布，参数为，则当时，有 其中分别为个别理赔额的均值和方差。【例题】例1 理赔总额服从参数的复合负二项分布，理赔额服从参数的指数分布，求（1）； （2）。解：（1）负二项分布的矩母函数，指数分布的矩母函数为，的矩母函数为。（2）例2 对复合二项分布，参数，个别索赔额服从参数为的指数分布，已知，求。解：复合二

11、项分布的矩母函数为，指数分布的矩母函数为，根据，有，由，有。例3 已知服从负二项分布，参数，并已知的均值和方差，求个别理赔额的均值和方差。解：例4 如果服从复合泊松分布，参数，理赔额有；服从复合泊松分布，参数，理赔额有。计算的个别理赔额分布。解：服从参数的泊松分布。理赔额的概率密度函数为：例5 若聚合理赔模型中的个别理赔额服从正态分布，理赔次数，求理赔总额的均值和方差。解：根据题意，理赔额的均值和方差分别为：。理赔次数的均值与方差分别为：理赔总额的均值和方差则为例6 设理赔次数服从负二项分布，其中参数，且，理赔额的分布为，求理赔总额的均值与方差。解：负二项分布的均值和方差分别为：，由，从而。理

12、赔额的均值和方差分别为从而有例7 某人在上班途中总能捡到钱，已知他1小时内捡到钱的次数服从参数的泊松分布；而捡到的钱的面额服从以下分布：1元（60%），5元（20%），10元（20%）。设代表他1小时内捡到的总钱数，求的方差。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。解：由题意，故例8 设理赔次数服从的泊松分布，个别理赔额的分布为，计算总理赔额等于1，2，3，4的概率。解：总理赔额，其中服从参数的分布，其中。根据和利用独立随机变量和的卷积公式得到：例9保险人承保了1000份保险金额为1万元的一年期意外险保单，假设每个被保险人索赔的概率为0.0002，求理赔总额超过12000元的概率。籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。解：20

13、08年春季精算考试试题（风险理论）1. 某保险公司承保了如下特性的保单组合：(1) 每张保单最多发生一次索赔，并且索赔发生的概率为 0.02;(2) 索赔发生时的个体理赔额分布如下：理赔额1234概 率0.40.30.20.1 (3) 安全附加系数为 1/3。为了使所收取保费总额低于赔付总额的概率不超过5%，保险公司需承保的最小保单数是( )。(A) 1300(B) 1350(C) 1400(D) 1450(E) 1500【解】每张保单的实际赔付额用随机变量表示，其中表示该张保单发生理赔条件下的理赔额，其均值和方差分别为：；是一个0-1分布的随机变量，参数为，代表每张保单发生理赔的概率。则有 。根据题意，设保险公司承保的最小保单数为，则理赔总额的均值与方差为：根据题意要求，即，由此得 ，按题意选。2.设服从0，100上均匀分布，服从0，200上均匀分布，与相互独立，令，并记为的概率分布函数， 等于( )。(A) 0.9(B) 0.85(C) 0.84(D) 0.79(E) 0.54【解】首先确定积分区域分别为：和按题意应选。