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1、北师大版高中数学选修2-2第四章定积分全部教案扶风县法门高中 姚连省1 定积分概念第一课时 曲边梯形的面积一、教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。二、教学重难点：重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）难点：对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程1、创设情景我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本
2、概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。一个概念：如果函数在某一区间上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数称为区间上的连续函数（不加说明，下面研究的都是连续函数）聞創沟燴鐺險爱氇谴净。2、新课探析问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线的一段，我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形如何计算这个曲边梯形的面积？残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。例题：求图中阴影部分是由抛物线，直线以及轴所围成的平面图形的面积S。思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？酽锕极額閉镇桧猪訣锥。分析：
3、曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段“以直代曲”的思想的应用彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。xxx1 x1 xy1 xyy把区间分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。解：（1）分割在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间
4、：，记第个区间为，其长度为分别过上述个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：，显然，（2）近似代替记，如图所示，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从图形上看，就是用平行于轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有厦礴恳蹒骈時盡继價骚。（3）求和：由，上图中阴影部分的面积为=，从而得到的近似值 （4）取极限：分别将区间等分8，16，20，等份（如图），可以看到，当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有茕桢广鳓鯡选块网羈
5、泪。从数值上的变化趋势：3求曲边梯形面积的四个步骤:第一步：分割在区间中任意插入各分点，将它们等分成个小区间，区间的长度，第二步：近似代替，“以直代取”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值第三步：求和第四步：取极限。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。说明：1归纳以上步骤，其流程图表示为：分割以直代曲求和逼近2最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值练习：课本P76练习题：设S表示由曲线，x=1，以及x轴所围成平面图形的面积。四、课堂小结：求曲边梯形的思想和步骤：分割以直代曲求和逼近 （“以直代曲”的思想）五、教学后记第二课时 汽车行驶的路程一：教学目标1、知识与技能目标
6、：了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。2、过程与方法：通过与求曲边梯形的面积进行类比，求汽车行驶的路程有关问题，再一次体会“以直代曲“的思想。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。3、情感态度与价值观：在体会微积分思想的过程中，体会人类智慧的力量，培养世界是可知的等唯物主义的世界观。渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。二：教学重难点重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）难点：过程的理解三：教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、创设情景复习：1连续函数的概念；2求曲边梯形面积
7、的基本思想和步骤；利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。（二）、新课探析问题：汽车以速度组匀速直线运动时，经过时间所行驶的路程为如果汽车作变速直线运动，在时刻的速度为（单位：km/h），那么它在01(单位：h)这段时间内行驶的路程（单位：km）是多少？擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题把区间分成个小区间，在每个小区间上，由于的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，
8、从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得（单位：km）的近似值，最后让趋紧于无穷大就得到（单位：km）的精确值（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。解：（1）分割在时间区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：，记第个区间为，其长度为把汽车在时间段，上行驶的路程分别记作：，显然，（2）近似代替当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从物理意义上看，即使汽车在时间段上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻处的速度作匀速直线运动，即在局部
9、小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。（3）求和由，=从而得到的近似值 （4）取极限当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程与由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积有什么关系？结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程在数据上等于由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在ab内所作的位移蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。例、弹簧在拉伸的过程中，力与
10、伸长量成正比，即力（为常数，是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长所作的功分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解解：将物体用常力沿力的方向移动距离，则所作的功为1分割在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：，记第个区间为，其长度为把在分段，上所作的功分别记作：，（2）近似代替有条件知：（3）求和=从而得到的近似值 （4）取极限所以得到弹簧从平衡位置拉长所作的功为：（四）、课堂小结：求汽车行驶的路程有关问题的过程。（五）作业：课本P80A组2、3五、教学后记第三课时定积分的概念一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助
11、于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、创设情景复习：1 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：分割近似代替(以直代曲)求和取极限（逼近）2对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点（二）、新课探析1定积分的概念一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式：如果
12、无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：，其中积分号，积分上限，积分下限，被积函数，积分变量，积分区间，被积式。说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）记为，而不是 （2）用定义求定积分的一般方法是：分割：等分区间；近似代替：取点；求和：；取极限：（3）曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功2定积分的几何意义从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分的几何意义。綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面
13、积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号。驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值。考察和式不妨设于是和式即为阴影的面积阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗？3定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1；性质2（定积分的线性性质）；性质3（定积分的线性性质）；性质4（定积分对积分区间的可加性）(1)； (2)； 说明：推广： 推广:性质解释：性质4性质1（三）典例分析例1、计算定积分12yxO分析：所求定积分是所围成的梯形面积，即为如图阴影部分面积，面积为。即：思考：若
14、改为计算定积分呢？改变了积分上、下限，被积函数在上，出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）例2、计算定积分分析：利用定积分性质有，利用定积分的定义分别求出，就能得到的值。（四）课堂练习计算下列定积分123课本P80页练习题(五)回顾总结：定积分的概念、用定义法求简单的定积分、定积分的几何意义(六)布置作业：课本P81页习题4-1A组4、5 B组2五、教学后记：第四课时 微积分基本定理一、教学目标：了解牛顿-莱布尼兹公式二、教学重难点：牛顿-莱布尼兹公式三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：定积分的概念及计算（二）、探究新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（），则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，即=且。 对于一般函数，设，是否也有若上式成
