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1、一、根的判别式如求方程的根（1）(2) (3)我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0（a0），用配方法可以将其变形为 因为a0，所以，4a20于是（1）当b24ac0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1，2；（2）当b24ac0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x1x2；（3）当b24ac0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。由此可知，一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的情况可以由b24ac来判定，我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判别式，通常用符号“”来表示
2、聞創沟燴鐺險爱氇谴净。综上所述，对于一元二次方程ax2bxc0（a0），有（1） 当0时，方程有两个不相等的实数根x1，2；（2）当0时，方程有两个相等的实数根x1x2；（3）当0时，方程没有实数根例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根（1）x23x30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x22xa0二、根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个实数根，则有；所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax2bxc0（a0）的两根分别是x1，x2，那么x1x2，x1x2这一关系也被称
3、为韦达定理残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。例1已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值例2已知关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值酽锕极額閉镇桧猪訣锥。例3 若x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根（1）求| x1x2|的值； （2）求的值；（3）x13x23重要结论：若x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0），则| x1x2|（其中b24ac）彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。练 习1选择题：（1）方程的根的情况是 （ ） （A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根（2）若关于x
4、的方程mx2 (2m1)xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ）謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。 （A）m （B）m （C）m，且m0 （D）m，且m0 （3）已知关于x的方程x2kx20的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A）3 （B）3 （C）2 （D）2（4）下列四个说法：方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程3 x270的两根之和为0，两根之积为；方程3 x22x0的两根之和为2，两根之积为0其中正确说法的个数是 （ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个（5）关于x的一元二次方程ax25xa2a0的一个根
5、是0，则a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或1厦礴恳蹒骈時盡继價骚。（6）若关于x的方程x2(k21) xk10的两根互为相反数，则k的值为 （ ）茕桢广鳓鯡选块网羈泪。 （A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）02填空:（1）若方程x23x10的两根分别是x1和x2，则（2）方程mx2x2m0（m0）的根的情况是（3）以3和1为根的一元二次方程是（4）方程kx24x10的两根之和为2，则k（5）方程2x2x40的两根为，则22（6）已知关于x的方程x2ax3a0的一个根是2，则它的另一个根是（7）方程2x22x10的两根为x1和x2，则| x1x2|（8）若m，n是方程
6、x22005x10的两个实数根，则m2nmn2mn的值等于（9）如果a，b是方程x2x10的两个实数根，那么代数式a3a2bab2b3的值是3.解答题1试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2(2m1) x10有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。2求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x27x10各根的相反数3已知，当k取何值时，方程kx2axb0有两个不相等的实数根？4已知方程x23x10的两根为x1和x2，求(x13)( x23)的值5已知关于x的方程x2kx20（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1x2)x1x2，求实数k的取值范围6一元二次方程ax2bxc0（a0）的两根为x1和x2求：（1）| x1x2|和；（2）x13x237关于x的方程x24xm0的两根为x1，x2满足| x1x2|2，求实数m的值3
