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1、第6章 塑性本构方程Chapter 6 Constitutive Equations of Plastic Deformation,6.1 塑性变形的力学特点(回顾),6.1.1 变形力学特点(与弹性变形相比) 1. （弹塑性共存） 线性函数 非线性函数 2. 塑性变形阶段 加载阶段 非线性变形阶段 卸载阶段 线性变形阶段,0.2对应于0.2%的永久应变时的应力，作为条件屈服限。,3. 存在加工硬化（硬化指数n） ，组织劣化加工硬化 （ 变形抗力 ） 4. 塑性变形的应力应变关系与加载历史有关 5. 使变形材料的组织与性能发生变化 defects, dislocation, texture,
2、phases, matrix 6. 变形机理：滑移，孪生，晶界机制，扩散机制 弹性变形的本质是 原子间距的变化。,也即 各向同性材料（isotropic materials） Eelastic modulus Possons ratio 反过来， 柔度矩阵 刚度矩阵 且有：,G=E/2（1+）,2. 各向异性弹性体的广义虎克定律 在线性弹性体中，物体的应力与应变关系服从广义虎克定律。根据这个定律，在物体的任何一点上，6个应力量中的每一个分量都可以表示成6个应变分量的线性函数，即,式中 为材料的弹性常数。,应该指出：由于弹性体存在变形能，弹性常数应满足对称性，所以物体即使是在各向异性的最一般情况
3、下，独立的弹性常数只有21个。,3. 正交各向异性弹性体的广义虎克定律 正交各向异性弹性体的柔度矩阵为,其中 依次为2-3，3-1，1-2平面的剪切模量。 分别为1，2，3方向上的弹性模量。 为应力在 i 方向作用时 j 方向的横向应变的泊松比，即,对于正交各向异性材料，只有9个独立常数，因为,4. 塑性变形： （后面详述） 5. 塑性变形本构关系： 应变速度敏感指数 此即Backfon公式，主要应用于超塑性变形。,6.1.3 基本假设与材料模型 1. 基本假设 a. 变形材料均质、连续、各向同性； b. 静水压力不影响材料 的大小； c. 拉伸与压缩的 相同（即不计包辛格效应） 2. 材料变
4、形模型,理想弹塑性材料 （例如热轧）,理想刚塑性材料 （例如热挤压）,线性硬化弹塑性 材料 （例如冷变形）,线性硬化刚塑性 材料,一般硬化材料,粘塑性材料,6.2 屈服条件(塑性条件),定义:材料从弹性变形状态进入塑性变形状态，并使塑性变形继续进行的力学条件。 例如:单向拉伸： 时材料开始屈服。 多向变形： (i,j=1,2,3) 更一般的 屈服函数，在应力空间构成一个屈服面。 描述这个屈服面的数学表达式称为屈服函数或屈服条件。 建立 ，有两种方法： 数理逻辑推理（预测实验验证） 实验研究（理论原理揭示实质获得经验公式）,(i,j=x,y,z),实验研究方法：Tresca屈服准则 1864年法
5、国工程师Tresca在研究单向拉伸时发现金属表面出现吕德斯带（与拉伸方向成45o），其后在压缩、剪切、挤压（挤铅管）等实验中也出现类似现象。于是作了一系列的挤压实验来研究屈服条件，发现从金属变形上来看，可以在变形表面看到很细的痕迹，而这些痕纹的方向很接近由最大剪切应力所引起的晶体网格的滑移线。于是Tresca认为，当最大剪切应力达到某一极限值时，材料即进入塑性状态。这个条件可以写成如下公式： 这就是Tresca屈服准则（最大剪应力准则，第3强度理论）,或写成,数理逻辑推理：Mises屈服准则 1913年， Mises曾指出，在 的平面（平面）上Tresca六边形的六个顶点是由实验得到的，但是连
6、接六个点的直线却是假设的。这种假设是否合理尚需证明。他认为，如果用一个圆来连接这六个点可能更合理，而且又可以避免由于曲线不光滑而产生数学上的困难。他认为Tresca条件是个准确的条件，而他的条件却是个近似的条件。Mises条件是一个垂直于平面的圆柱面，在 平面上则是个椭圆。 Mises屈服准则的提出： 单项拉伸： 得到,多向变形： ， 有6个独立分量。 由于不计包申格效应，故 应为偶函数（拉伸和压缩时s相同）。,（应力偏量影响形状改变和塑性变形相关）,将单向拉伸屈服条件代入，则有 既Misese屈服条件（歪形能定理，第四强度理论）,两种准则的比较 1. 区别 表达式不同： 物理含义不同： Tr
7、esca最大剪切应力到某极限 Mises形状变形能到某极限 对中间主应力的考虑不同： Trseca只有最大和最小主应力对屈服有 影响 Mises 三个主应力对屈服都有影响 几何表达不同,2. 联系 几何上：内接关系，两种准则有六个点重合。 表达式上： （为中间应力影响系数， 为lode参数）,应变硬化材料的屈服准则 随着的提高，T也提高。 等强硬化准则： 同心圆等强强化。 （后继加载曲面） 移动强化（复杂） 略,双剪应力屈服准则 （有意可参考双剪理论俞茂宏著，52.55） 或 回顾：主剪切应力在主应力空间是（110）面族。 如果：,材料屈服,材料屈服,当b=0时： （Tresca准则） 当b=
8、1时： 或 即当两个较大的主剪切应力之和达到某一极限时材料屈服,即 时，材料屈服。 或 时材料屈服 Hill准则（后节详述）,6.3 塑性本构方程 引言 回顾：1）塑性变形过程的特点 2）塑性变形过程与加载历史（路径）的关系 增量理论1Levy-Mises增量理论 Levy-Mises增量理论包括以下假设：（1）材料是刚塑性体。（2）材料符合Mises塑性条件。（3）塑性变形时体积不变，即 。（4）应变增量主轴与偏应力主轴相重合。（5） 式中d为瞬时非负比例系数，它在加载过程中是变化的。经数学推导和整理，可得：,于是可得出类似广义Hooke定律的塑性本构方程： 式中， 类似于弹性模量与剪切模量
9、。,应当指出的是，Levy-Mises增量理论对于理想 材料而言，若已知ij只能求出dij之间的比值， 而无法求出它们的值。若已知dij ，只能求出 ， 而无法求出ij ，这是该理论的主要缺陷。 对于强化材料（应力与应变一一对应）而言， 若已知ij ，要求出dij之间的比值，则必须给出 d ij ;若已知dij ，在给出了ij的条件下，也只 能求出 。,2Saint-Venant塑性流动理论（应力应变速率关系方程） 假设条件几乎同前，有： 其中 同样也可写成广义Hooke定律形式。由于上式和粘性流体的牛顿公式相似，故称为塑性流动方程。Levy-Mises方程实际上是塑性流动方程的增量形式。若不
10、考虑应变速度对材料性能的影响，二者是一致的。,3Prandtl-Reuss增量理论 在Levy-Mises增量理论基础上考虑了弹性变形的影响，得出了Prandtl-Reuss增量理论，其中弹性部分同弹性广义Hooke定律。 式中G、E分别为弹性剪切模量和弹性模量。 分析上式可知，若已知 和 ，不论材料是理想还是强化的， 均可以确定。反过来，若已知 ，对理想材料而言，仍不能求出 。对硬化材料而言，则可给出 。,全量理论（形变理论）,若已知应变变化历史，即知道了加载路径，则沿这个路径可以积分得出应力与应变全量之间的关系，建立全量理论或形变理论，尤其是在简单加载条件下，把增量理论中的增量符号“d”取
11、消即可。 用Prandtl-Reuss增量理论的积分形式表达即为： 上式称为Hencky全量理论方程，只适用于小塑性变形或简单加载的大塑性变形。,全量理论（形变理论）,在简单加载条件不成立的情况下全量理论照理是不能使用的。但由于全量理论解题的方便与直观，在简单加载条件不成立的情况下，也经常使用全量理论求解。最令人奇怪的是象板材的塑性失稳问题，在失稳时刻，应力分量之间的比例变化激烈，而实验结果却更接近于全量理论的计算结果。这就使人们估计全量理论的适应范围比简单加载宽得多，因此提出了所谓偏离简单加载问题，探讨应力路径可以偏离简单加载路径多远而仍能应用全量理论的问题。至于为什么在失稳问题中全量理论计
12、算结果比增量理论好，目前仍未得到很好的解释，还在继续研究之中。,6.4 塑性势 6.4.1 弹性应变能与弹性势,加载储能Ue 卸载释放Ue,6.4.2塑性势 1938年Melon类比弹性势提出塑性势 塑性势概念：g（ ）塑性势函数 性质：数量函数 物理意义：应该具有能量内涵,6.4.3塑性势的应用,例1：应用于各向异性材料的屈服准则与流动法则(本构关系) 正交各向异性材料的Hill屈服准则,即是Mises屈服准则的推广,6个各向异性参数可以通过试验确定,即在6个不同方向取6组样品,进行单拉试验,可以得到6个方程；联合求解,这样就 可以求得6个各向异性参数。然后利用塑性势求解该材料的本构方程（应
13、力 应变关系）及等效应力与等效应变。,设:轧制方向为x方向,宽为y方向,原向为z方向,Al合金深冲板: 1.制罐料 3004； 2.汽车深冲. r-厚向异性系数,塑性比,冷轧薄板:平面各向异性(R与T各向异性),深冲时,材料处于平面应力状态,6.5 Drucker公设与最大塑性消耗原理,1951年, Drucker提出了关于材料变形稳定性的判据 例如:单向拉伸,A,有关推论:,加载曲线是外凸的,与最大功耗原理等价的循环路径.,应力与应变增量主轴重合时才符合增量理论.,Drucker将这种情况推广到一般应力状态:,材料在不同状态下表现出不同的力学行为(塑变方式,大小),屈服条件的改变,引起 塑性本构关系的改变；变形条件（如应力状态）的改变不仅会引起变形状态的 改变，还将引起材料性能的变化。,参考:金属塑性成形原理 王祖唐 75/WZT,类似的问题同样可以针对材料的超塑性、硬度、强度、刚度、韧性、热膨胀系数、导电率等提出。,
