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1、计算方法讲义,教 材：计算方法，计算方法课程组,作 业：计算方法作业集（A、B）,参考书：1、封建湖，车刚明，计算方法典型题分析解集（第二版），西北工业大学出版社，2001. 2、封建湖，聂玉峰，王振海，数值分析导教导学导考，西北工业大学出版社，2003.,课时数：32,第一章 绪 论,内容提要 1.1 引言 1.2 误差的度量与传播 1.3 数值试验与算法性能比较,提出数值问题 数值问题是指有限个输入数据（问题的自变量、原始数据）与有限个输出数据（待求解数据）之间函数关系的一个明确无歧义的描述。这正是数值分析所研究的对象。,数值问题举例,是用一阶常微分方程初值问题表示的数学模型，要求无穷多个
2、输出，因而它不是数值问题 。但当我们要求出有限个点处函数值的近似值时，便成为一数值问题。,设计高效可靠的算法 计算方法的任务之一就是提供求得数值问题近似解的方法算法。 算法：指把对数学问题的解法归结为只有加、减、乘、除等基本运算，并确定运算次序的完整而准确的描述。,算法分类: 分类方法1：若算法包含有一个进程则称其为串行算法，否则为并行算法。 分类方法2：从算法执行所花费的时间角度来讲，若算术运算占绝大多数时间则称其为数值型算法，否则为非数值型算法。 本课程介绍数值型串行算法。（其它类型算法参阅数据结构、并行算法等课程。）,算法的可靠性：算法的可靠性包括算法的收敛性、稳定性、误差估计等几个方面
3、。这些是数值分析研究的第二个任务。 一个算法在保证可靠的大前提下再评价其优劣才是有价值的。,算法的优劣评价：可靠算法的优劣，应该考虑其时间复杂度（计算机运行时间）、空间复杂度（占据计算机存储空间的多少）以及逻辑复杂度（影响程序开发的周期以及维护）。这是数值分析研究的第三个任务。,例1,例2 秦九韶算法,算法应用状态,计算方法研究对象以及解决问题方法的广泛适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、Mathematica等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。 但由于实际问题的具体特征、复杂性， 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法
4、，因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。,科学与工程计算过程小结,提出实际问题 建立数学模型 提出数值问题 设计可靠、高效的算法 程序设计、上机实践计算结果 计算结果的可视化 在具体问题的求解过程中，上述步骤形成一个循环。 科学计算（数值模拟）已经被公认为与理论分析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。,鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几个方面问题的求解算法： 函数的插值和曲线拟合 数值积分和数值微分 线性方程组求解、非线性方程（组）求解 代数特征值问题 常微分方程数值解法,本课程主要内容,本课程的学习方法,尽管我们所学算法有限，但许多
5、仍有学多学生会觉得公式多，理论分析复杂。我们提出如下的几点学习方法，仅供初学者参考。 1、以算法的理论分析为基础，理解记忆公式。 2、搞清各章问题的基本提法, 算法提出的背景。 3、理解每个算法建立的数学背景、数学原理和基本线索，熟练掌握最基本的算法。 4、从各种算法的理论分析中学习推理证明方法，提高推理证明能力。 5、认真进行数值计算的训练。,1.2 误差的度量与传播,内容提要： 一、误差的来源 二、误差的度量 三、误差的传播,一、误差来源及其分类,1)模型误差（描述误差） 反映实际问题有关量之间的计算公式（数学模型）通常是近似的。,2）观测误差 数学模型中包含的某些参数是通过观测得到的。,
6、在计算方法中不研究这两类误差，总是假定数学模型是正确合理的反映了客观实际问题。,3）截断误差（方法误差） 数值方法精确解与待求解模型的理论分析解之间的差异。 这是由于我们需要将无穷过程截断为有限过程，而使得算法必须在有限步内执行结束而导致的。,例如：,4）舍入误差 在实现数值方法的过程中，由于计算机表示 浮点数采用的是有限字长，因而仅能够区分有限 个信息，准确表示某些数，不能准确表示所有实 数，这样在计算机中表示的原始输入数据、中间 计算数据、以及最终输出结果必然产生误差，称 此类误差为舍入误差。 如利用计算机计算e的近似值en时，实际上 得不到en的精确值，只能得到en的近似e*；这样 e*
7、作为e的近似包含有舍入误差和截断误差两部 分：,二、误差的度量,绝对误差 相对误差 有效数字 各种度量之间的关系,1. 绝对误差,绝对误差定义：准确值减近似值,绝对误差限：,2.相对误差,Remark: 绝对误差限虽然能够刻划对同一真值不同近似的好坏，但它不能刻划对不同真值近似程度的好坏 。,3.有效数字,为了规定一种近似数的表示法，使得用它表示的近似数自身就直接指示出其误差的大小。为此需要引出有效数字和有效数的概念。,有效数：当x* 准确到末位，即n=p，则称x*为有效数。 举例：x=, x1*=3.141, x2*=3.142,3位有效数字，非有效数,4位有效数字，有效数,Remark1:
8、 有效数的误差限是末位数单位的一半，可见有效数本身就体现了误差界。 Remark2: 对真值进行四舍五入得到有效数。 Remark3:准确数字有无穷多位有效数字。 Remark4: 从实验仪器所读的近似数（最后一为是估计位）不是有效数，估计最后一位是为了确保对最后一位进行四舍五入得到有效数。 例 从最小刻度为厘米的标尺读得的数据123.4cm是为了得到有效数123.cm,读得数据156.7cm是为了得到有效数157.cm。,4.误差度量间的联系,绝对误差与相对误差,绝对误差与有效数字,相对误差与有效数字,定理证明,证毕,Remark 1、该定理实质上给出了一种求相对误差限的方法。 2、仅从 并
9、不能保证x*一定具有n位有效数字。如 设其近似值a=0.484，其相对误差为： 我们并不能由此断定a有两位有效数字，因为,例题,解：,三、误差的传播,概念：近似数参加运算后所得之值一般也是近似值，含有误差，将这一现象称为误差传播 。 误差传播的表现： 算法本身可能有截断误差； 初始数据在计算机内的浮点表示一般有舍入误差； 每次运算一般又会产生新的舍入误差，并传播以前各步已经引入的误差； 误差有正有负，误差积累的过程一般包含有误差增长和误差相消的过程，并非简单的单调增长； 运算次数非常之多，不可能人为地跟踪每一步运算。,初值误差传播：假设每一步都是准确计算，即不考虑截断误差和由运算进一步引入的舍
10、入误差，仅介绍初始数据的误差传播规律。 研究方法： 泰勒（Taylor）方法 n元函数,复习泰勒公式,泰勒公式分析初值误差传播,相对误差：,进而得到如下绝对误差限和相对误差限传播关系：,对于一元函数，有如下初值误差传播近似计算公式：,二元函数算术运算误差传播规律,绝对误差限,相对误差限,尽量避免相近的数相减 例 x=52.127 x*=52.129 四位有效数字 y=52.123 y*=52.121 四位有效数字 A=x-y=0.004 A*=x*-y*=0.008 零位有效数字 结论：避免相近数相减,1.3 数值试验与算法性能比较,一些避免相近数相减示例 当|x|1时,当|x|1时,两种算法
11、的相对误差图比较,尽可能避免绝对值很小的数做分母，防止出现溢出。,当a,b中有近似值时，由,若 ，则 可能很大。当a,b都是准确 值时，由于 很大，会使其它较小的数加不到 中而引起严重误差，或者会发生计算机“溢出”，导致计算无法进行下去。,算例 用不同位数的浮点数系统求解如下线性方程组,算法1：顺序消去法，分别保留4位和7 位小数进行计算； 算法2：将第1个和第2个方程交换次序后，使用消去法分别保留4位和7位小数进行计算； 准确解：,计算结果,选用数值稳定性好的算法。,定义：一个算法, 如果在运算过程中舍入误差在一定条件下能够得到控制, 或者舍入误差的增长不影响产生可靠的结果, 则称该算法是数
12、值稳定的, 否则称其为数值不稳定.,例：计算如下积分近似值的两种方案比较,方法1：,方法1计算结果,方法一结果分析,方法一分析：计算结果表明, 舍入误差的传播近似依5的幂次进行增长, 因而是一种不稳定的方法。,方法二：,由此分析知，该方法是稳定的。关于初值的近似可由下面式子得到：,方法2计算结果,总之, 除了算法的正确性之外, 在算法设计中至少还应:,1 尽量避免两个相近的近似数相减; 2 合理安排量级相差很大的数之间的运算次序, 防止大数吃掉小数; 3 尽可能避免绝对值很小的数做分母; 4 防止出现溢出; 5 简化计算步骤以减少运算次数; 6 选用数值稳定性好的算法.,本章知识结构图,本章典型例题,例1: 指出如下有效数的有效数字位数并计算绝对误差限和相对误差限。,解: 1）x*有2位有效数字，,绝对误差限为：,相对误差限为：,2）y*有3位有效数字，,绝对误差限为：,相对误差限为：,3）z*有5位有效数字，,绝对误差限为：,相对误差限为：,解: 由题意知，近似数x*的绝对误差限 ，相对误差限 。,例2: 已知 试求 的相对误差限。,注意：此处正好有：,解:,例3: 已知桌子长宽近似值 ，并且已知 ，求近似面积 的绝对误差限和相对误差限。,例4: 下列公式如何变形才能使数值计算得到比较精确的结果。,
