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1、第三章 一元函数的导数、微分及其应用,第一节 导数的概念 第二节 导数的运算 第三节 微分的概念与应用 第四节 微分中值定理 第五节 导数的应用,2020年8月11日星期二,2,二、反函数的求导法则,三、复合函数的求导法则,第二节,导数的运算,第二章,一、导数的四则运算法则,四、隐函数的求导法则,五、参数方程所确定函数的求导,六、高阶导数,3,一、导数的四则运算法则,定理1.,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 x 可导,且,(2),(3),4,推论1:,( C为常数 ),推论2:,5,解:,类似可得:,例1求三角函数,和,的导数.,6,例2. 已知,求,解.,7,例3.
2、 设,解.,8,例4.,解:,9,二、反函数的求导法则,定理2.,y 的某邻域内单调可导,10,例5. 求函数 的导数.,解: 设,则,利用, 则,类似可求得,11,例6,则,求指数函数,(,) 的导数,解:,12,小结：初等函数的导数公式,1. 常数和基本初等函数的导数,13,在点 x 可导,三、复合函数的求导法则,定理3.,在点,可导,复合函数,且,在点 x 可导,14,例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,15,例7. 设,求,解:,16,例8. 设,解:,17,解: (1),(2),例9. 设,，求幂函数的求导公式,18,例10
3、. 某血管横截面上离中轴线距离,处血液流动速度为,其中，,是血管半径，,为生理常数. 已知阿司匹林具有舒张微细血管的 作用. 假如病人遵照医嘱服用两片阿司匹林， 在随后的一段时间里，动脉血管,的半径以,扩张，求动脉中血流速度,关于时间,的变化率.,19,解:,因为, 所以,根据复合函数求导公式有,因为,，所以,. 从而,20,四、隐函数的求导,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数 , 称为显函数 .,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .,函数为隐函数 .,则称此,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),21,例11. 求由方
4、程,所确定的隐函数,的导数,.,解. 将方程两边分别对,求导，得,即,解得,22,例12. 求由方程,在 x = 0 处的导数,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,23,五、参数方程所确定函数的求导,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,时, 有,关系,当,24,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数 .,利用新的参数方程,可得,25,例13. 设由方程,确定函数,求,解: 方程组两边对 t 求导 , 得,故,26,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,六、高阶导数,27,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或,的二阶导数 ,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,28,设,求,解:,依次类推 ,例1.,可得,29,例2. 设,求,解:,特别有:,解:,规定 0 ! = 1,思考:,例3. 设,求,30,例3. 设,求,解:,一般地 ,类似可证:,31,内容小结,1. 隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2. 对数求导法 :,适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数,3. 参数方程求导法,极坐标方程求导(不讲）,转化,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,
