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1、1,第 三节 行列式,一、二阶与三阶行列式 二、n阶行列式 三、Gramer法则 四、伴随矩阵,2,用消元法解二元线性方程组,一、二阶行列式的引入,3,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,4,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表,定义,即,5,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,6,7,8,9,则二元线性方程组的解为,注意 分母都为原方程组的系数行列式.,10,例1,解,11,三阶行列式,定义,记,（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.,12,三阶行列式的计算：对角线法则,注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素
2、的乘积冠以负号,说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,13,如果三元线性方程组,的系数行列式,利用三阶行列式求解三元线性方程组,14,若记,或,15,记,即,16,17,得,18,得,19,则三元线性方程组的解为:,20,例,解,按对角线法则，有,21,例3 解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,22,同理可得,故方程组的解为:,23,二、n阶行列式,三阶矩阵的行列式可以写成 :,对于n阶矩阵,可用归纳法给出定义,24,定义:(行列式按照(第一)行的展开式(the Laplace expansion of a determinant).n阶行列式的值为,式中,是,在i=1时的特殊情形
3、，,25,叫做元素 的代数余子式,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,26,行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,27,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,28,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,29,性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两
4、数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,例如,30,性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,31,例,性质6行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,性质7设A 和B 是两个n 阶矩阵，那么,32,解,33,34,35,36,37,三、克拉默(Gramer)法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,38,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为,39,推论1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 .,推论2 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.,40,齐次线性方程组的相关定理,定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式 则齐次线性方程组 没有非零解.,41,有非零解.,系数行列式,42,43,解,齐次方程组有非零解，则,所以 或 时齐次方程组有非零解.,44,四、伴随矩阵,定义3.2.对任意 n 阶矩阵 A，称,为矩阵 A 的伴随矩阵，其中,是A中元素,的代数余子式。,45,定理 矩阵 可逆的充要条件是 ，且,46,例 求方阵 的逆矩阵.,解,=2,47,同理可得,故,
