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1、2.4 函数的奇偶性与周期性一、填空题1设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f_.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。解析fff2.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。答案2.设函数为奇函数,则a=. 解析由函数为奇函数得到f(0)=0,即0. 所以a=0. 答案0 3设函数f(x)是奇函数且周期为3，f(1)1，则f(2 011)_解析因为f(x)f(x)，f(x3)f(x)，f(1)1，所以f(1)1，f(2 011)f(36701)f(1)1.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。答案14已知奇函数f(x)的图象关于直线x2对称，当x0,2时，f(x)2x，则f(9)_.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。解析由题
2、意，得f(x)f(x)，f(x)f(4x)，所以f(9)f(49)f(5)f(5)f(1)2.答案25.若y=f(x)是奇函数,且在内是增函数,又f(3)=0,则xf(x)0的解集是 _.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。解析因为f(x)在内是增函数,f(3)=0, 所以当0x3时,f(x)3时,f(x)0. 又因为f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,所以当-3x0; 当x-3时,f(x)0. 可见xf(x)0的解集是x|-3x0或0x3. 答案x|-3x0或0x3 6函数f(x)是奇函数，且在1,1上是单调增函数，又f(1)1，则满足f(x)t22at1对所有的x1,1及a1,1都成立的t的取值范围是
3、_謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。解析由题意，f(x)maxf(1)f(1)1，所以t22at11，即t22at0对a1,1恒成立，t0时，显然成立；t0时，由t2a恒成立，得t2；t0时，由t2a恒成立，得t2.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。综上，得t2或t0或t2.答案(，202，)7设f(x)是定义在(，)上的奇函数，且f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则f(7.5)_.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。解析由题意得f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(7.5)f(7.58)f(0.5)f(0.5)0.5.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。答案 0.58已知函数f(x)log
4、4(4x1)kx(kR)是偶函数，则k的值为_解析由f(x)f(x)，得log4(4x1)kxlog4(4x1)kx，即2kxlog4log4(4x1)log4x，所以k.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。答案9若偶函数f(x)在(，0)内单调递减，则不等式f(1)f(lg x)的解集是_預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。解析因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(|x|)，于是由f(1)f(lg x)，得f(1)f(|lg x|)，又由f(x)在(，0)内单调递减得f(x)在(0，)内单调递增，所以有|lg x|1，即lg x1或lg x1，解得x或x10.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。答案(10，)铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。1
5、0已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)12x，则不等式f(x)的解集是_擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。解析若x0，则由f(x)12x，得x，这与x0时，x1矛盾若x0，则由f(x)为奇函数，得f(x)f(x)12x，得2x21，解得x1.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。答案(，1)11定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x)，且在1,0上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。f(x)是周期函数；f(x)关于直线x1对称；f(x)在0,1上是增函数；f(x)在1,2上是减函数；f(2)f(0)其中正确的序号是_解析f(x1)f(x)，f(x)f(x1)f(x11)
6、f(x2)，f(x)是周期为2的函数，正确又f(x2)f(x)f(x)，f(x)f(2x)，yf(x)的图象关于x1对称，正确又f(x)为偶函数且在1,0上是增函数，f(x)在0,1上是减函数又对称轴为x1，f(x)在1,2上为增函数，f(2)f(0)，故错误，正确答案12函数yf(x)与yg(x)有相同的定义域，且都不是常值函数，对于定义域内的任何x，有f(x)f(x)0，g(x)g(x)1，且当x0时，g(x)1，则F(x)f(x)的奇偶性为_蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。解析因为f(x)f(x)，g(x)，所以F(x)f(x)f(x)買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。f(x)f(x)2f(x)f(x)f(x
7、)F(x)綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。所以F(x)是偶函数答案偶函数13已知定义在R上的函数yf(x)满足条件ff(x)，且函数yf为奇函数，给出以下四个命题：函数f(x)是周期函数；函数f(x)的图象关于点对称；函数f(x)为R上的偶函数；函数f(x)为R上的单调函数，其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。解析由ff(x)，得f(x3)猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。ff(x)，所以正确锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。由yf为奇函数，得f(x)图象关于点对称，所以不正确由ff，得f(x)f，又ff(x)，所以ff，所以f(x)是偶函数，正确由正确知不正确構氽頑黉碩饨荠龈话骛。答案二、解答题
8、14设f(x)exaex(aR，xR)(1)讨论函数g(x)xf(x)的奇偶性；(2)若g(x)是个偶函数，解不等式f(x22)f(x)解析(1)a1时，f(x)exex是偶函数，所以g(x)xf(x)是奇函数；a1时，f(x)exex是奇函数，所以g(x)xf(x)是偶函数a1，由f(x)既不是奇函数又不是偶函数，得g(x)xf(x)是非奇非偶函数(2)当g(x)是偶函数时，a1，f(x)exex是R上的单调增函数，于是由f(x22)f(x)得x22x，即x2x20，解得1x2.輒峄陽檉簖疖網儂號泶。15.已知函数f(x)=是奇函数. (1)求实数m的值; (2)若函数f(x)在区间上单调递
9、增，求实数的取值范围.解析 (1)设x0, 所以f(-x)=. 又f(x)为奇函数, 所以f(-x)=-f(x). 于是x0时所以m=2. (2)要使f(x)在上单调递增，结合的图象（略）知所以故实数a的取值范围是(1,3.16. 已知函数f(x)，当x，yR时，恒有f(xy)f(x)f(y)(1)求证：f(x)是奇函数；(2)如果xR，f(x)0，并且f(1)，试求f(x)在区间2,6上的最值尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。解析 (1)证明：函数f(x)的定义域为R，其定义域关于原点对称f(xy)f(x)f(y)，令yx，f(0)f(x)f(x)令xy0，f(0)f(0)f(0)，得f(0)0.f(x
10、)f(x)0，得f(x)f(x)，f(x)为奇函数(2)法一：设x，yR，f(xy)f(x)f(y)，f(xy)f(x)f(y)xR，f(x)0，f(xy)f(x)0，f(xy)x，f(x)在(0，)上是减函数又f(x)为奇函数，f(0)0，f(x)在(，)上是减函数f(2)为最大值，f(6)为最小值f(1)，f(2)f(2)2f(1)1，f(6)2f(3)2f(1)f(2)3.所求f(x)在区间2,6上的最大值为1，最小值为3.法二：设x10，f(x2x1)0.f(x2)f(x1)0.即f(x)在R上单调递减f(2)为最大值，f(6)为最小值f(1)，f(2)f(2)2f(1)1，f(6)2
11、f(3)2f(1)f(2)3.所求f(x)在区间2,6上的最大值为1，最小值为3.17已知函数f(x)(a0)是奇函数，并且函数f(x)的图象经过点(1,3)识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的值域解析(1)因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)所以.因为a0，所以xbxb.所以b0.又函数f(x)的图象经过点(1,3)，所以f(1)3.所以3.因为b0，故a2.(2)由(1)知f(x)2x(x0)凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。当x0时，2x22，当且仅当2x，即x时取等号恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。当x0时，(2x)2 2.鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。所以2x2.当且仅当
12、2x，即x时取等号综上可知，函数f(x)的值域为(，22，)硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。18设f(x)loga为奇函数，g(x)f(x)loga(x1)(ax1)(a1，且m1)阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。(1)求m的值；(2)求g(x)的定义域；(3)若g(x)在上恒正，求a的取值范围氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。解析(1)f(x)是奇函数，f(x)f(x)，logalogaloga，釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。，x21(mx)21，怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。(m21)x20，又m1，m1.(2)由(1)f(x)loga，g(x)logaloga(x1)(ax1)，x必须满足谚辞調担鈧谄动禪泻類。又a1，x1或x1，g(x)的定义域为x|x1或x1(3)a1，g(x)在上恒正，嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩。即(x1)(ax1)1ax1axa，熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库。x，2，鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞。a2，a的取值范围是(2，)
