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1、数学实际应用问题中的三种类型及其解法,制作： 长沙市三十七中 高一备课组,数学实际应用问题中的三种类型及其解法,教学目标：,难点：灵活运用所学知识正确分析和解决实际问题。,1.通过对实际应用问题中的三种类型的讨论和解法探讨，使学生明确和掌握解答实际应用问题的思想方法，进一步巩固函数等有关的数学知识和方法。,2.通过学习，能运用所学知识解决实际问题，提高分析问题、解决问题的能力及综合运用知识的能力。,3.培养学生理论联系实际，自觉运用所学知识解决实际问题的意识。,重点：实际应用问题中的三种类型及其解法。,一、复习回顾,读题理解：读懂题意、理解实际背景，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关
2、系（目标与条件的关系）； 抽象建模：把问题的主要关系近似化、形式化，抽象、归纳成数学问题（数学模型）； 求解模型：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解（解出模型的数学结果）； 评价作答：对结果进行验证或评估，对错误加以调节、修正，最后对实际问题作出回答（解释或预测）.,解应用问题的一般思路和方法步骤：,三种类型及其解法,数学实际应用问题中的,读题-建模-求解-评价,体问题选择类()或()的方法.,类型():,变化过程中所遵从的某些特定关系.,定义型问题，即给定事物发展,其理论依据是:类()或类()的综合.,处理方法：除遵从题中规定关系外应视具,数学实际应用问题中的,三种类型及其解法
3、,象近年来的高考应用问题大多属于类型().,（二）例与练,应怎样计划才能使每亩地都能种上作物（水稻必种），所有劳力都有工作且作物预计总产值达最高？（每个劳力只种一种作物）,例120个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花、水稻.这些作物每亩地所需劳力和预计产值如下表：,解答,三类型,数学实际应用问题中的,三种类型及其解法,题中显示“产值最高”的语句，属类型()，应从构造有关产值的函数关系入手.,满足,解：,设种x亩水稻 (0x50)，y亩棉花,（0y50）时，总产值为h，且每个劳动力都有工作，,则h=0.3x+0.5y+0.650-(x+y)，,4x50，xN*.,欲使h为最大，则x应为最小，
4、,故当x=4(亩)时,hmax=26.4万元,故安排 人种 亩水稻， 人种 亩棉 花， 人种 亩蔬菜时，农作物总产值最高，且每个劳力都有工作.,1,4,8,24,11,22,分析：,此时y=24（亩）.,例1,且x、y,数学实际应用问题中的,三种类型及其解法,例2某市1998年底人口为20万，人均住房面积为8m2，计划2002年底人均住房面积达10m2.如果该市每年人口平均增长率控制在1%，要实现上述计划，这个城市每年平均至少要新增住房面积多少万m2（结果以万m2为单位，保留两位小数）.,题中显示“增长率”的语句，属类型()，应从构造指数式方程或不等式入手.,分析：,解：,设平均每年至少要新增
5、住房面积x万m2，,四年共新增住房面积4x万m2.,此时住房总面积应为,(208+4x)万m2.,另一方面，到2002年底总人口为20(1+1%)4万.,按人均10m2计，2002年底应有住房面积为,2010(1+1%)4=200 (1+1%)4万m2.,三类型,数学实际应用问题中的,三种类型及其解法,故该城市每年至少要新增住房面积12.03 万m2，才可达人均住房面积10 m2的目标.,即 x12.03.,(1+1%)4=1.0141.0406，,x501.0406-40,=52.03-40=12.03，,例2,数学实际应用问题中的,三种类型及其解法,根据题意有：,208+4x200(1+1
6、%)4，,即x50(1+1%)4-40.,例3某铁道机车每小时运行所需的成本由两部分组成，固定部分为a元，变动部分与运行速度V(千米/小时)的平方成正比. 比例系数为K(K0). 如果机车匀速从甲站开往乙站，为使成本最省,应以怎样的速度运行？,故机车以速度,但题中显示“成本最省”的语句，应选择类型()的处理方法.,分析：,设机车以速度V匀速运行成本最省，甲、乙两站相距S千米，,解：,则机车匀速从甲站到乙站所,需时间为,t=S/V，,总成本设为y元，则有,y=(a+KV2)t,=(a+KV2)(S/V),=SKV+(a/V),当且仅当KV=a/V，,即,时，,y有最小值，,千米/小时匀速运行时，
7、,成本最省.,题目结构属类型().,三类型,复习,数学实际应用问题中的,三种类型及其解法,复习1,练习：,1一商人购进某种商品400个，进货原价为每个80元，若按90元一个售出时，可全部卖出.已知这种商品每个涨价1元，其销售数就减少20个，问他的售价应为多少时所获得的利润最大？,2某工厂在今年年初向银行贷款a万元，年利率为r；从今年年末开始，每年末向银行偿还一定的金额，预计五年内还清，问该厂每年末平均偿还的金额应是多少？,3某人进一批货，进货时已按原价a扣去了25%，现他希望对货物定一个新价，以便按新价让利20%后，仍可获得实际售价25%的纯利，试写出他经营这种货物件数x与让利总额y间的函数关
8、系.,练习1,练习2,练习3,小结,数学实际应用问题中的,三种类型及其解法,1分析：题中显示“利润最大”的语句，属类型().应从构造有关利润的函数关系入手.（利润=售额-成本）,答：售价为95元时获利最大，其最大值为 4500元.,此时销售量为400-20 x，则,y=(90+x)(400-20 x)-(400-20 x).80,解：,设售价为90+x元时利润为y，,=20(20-x)(10+x)=20-(x-5)2+225，,由二次函数的性质知，,当x=5时，,ymax=4500（元）.,练习,小结,数学实际应用问题中的,三种类型及其解法,2分析：题中显示“利率”的语句，属类型()，应从构造
9、指数式方程或不等式入手.,解：设平均每年末应向银行偿还x万元，则每年尚欠银行款依次为：,第1年：a+ar-x=a(1+r)-x，,第2年：a(1+r)-x+a(1+r)-xr-x =a(1+r)2-x(1+r)-x，,第5年：a(1+r)5-x(1+r)4+(1+r)3+(1+r)+1.,根据题意，第5年欠款应等于零，,即,a(1+r)5-x(1+r)4+(1+r)3+(1+r)+1=0,亦即,答：平均每年末向银行偿还的金额是,万元.,数学实际应用问题中的,三种类型及其解法,练习,注：本题也可从两方面去计算本利.即整存整取a万元，五年本利有M万元，零存整取x万元，四年本利有N万元，若五年内还清
10、，则有关系：,N+xM.,练习,小结,数学实际应用问题中的,三种类型及其解法,3分析：题目结构属类型().题中虽显示“让利”等语句，但最终还是以“利润大”为目的，故应选择类型()的处理方法. 解决此题的关键是弄清让利、纯利等的含义，弄清原价、进价、新价之间的关系，特别是要求出新价与原价之间的关系式，还要注意函数的定义域.,解：设新价为b，,则售价为 b(1-20%),进价,为 a(1-25%),由题意得：,b(1-20%)-a(1-25%),=b(1-20%)25%,b=5a/4，,y=b 20% x=ax/4,(xN).,练习,数学实际应用问题中的,三种类型及其解法,三、归纳小结,今天我们主
11、要归纳和讨论了数学实际应用问题中的三种类型及它们的处理思想和方法，并通过例题和练习进行了解题思路和方法的探索实践。,有关“利润最大、产值最高、造价最低”等问题，主要是利用函数与方程的思想方法及函数与不等式的思想方法解决；有关“利率、增长率及翻番”等问题，主要是利用构造指数式方程或指数式不等式解决；对于定义型问题，处理方法除遵从题中规定关系外，应视具体问题选择类()或()的方法解决.,数学实际应用问题中的,三种类型及其解法,练习,四、布置作业,求这种商品的日销售额的最大值?,1.某商品在最近100天内的价格f(t)与时间t的函数关系式是,销售量g(t)与时间t的,函数关系是,2.某工厂现有职工2
12、a人(1402a280)，且a为偶数，每人每年可创利b万元，据评估在生产条件不变的条件下，每裁员1人，则留岗职工每人每年多创利1%，但每年需付下岗职工0.4b万元的生活费，并且该厂正常运转所需人数不得小于现有职工的3/4,为获得最大的经济效益，该厂应裁员多少人?,数学实际应用问题中的,三种类型及其解法,3.某工厂生产某产品x 吨所需费用P元，而卖出x 吨的价格为每吨Q元，已知P=1000+5x2+(X2/10)，Q= a+(x/b),若生产出的产品能全部卖掉，且当产量为10吨时利润最大，此时每吨价格为40元，求实数a、b的值.,参考答案： 1. 808.5 2. a-70人. 3. a=45，
13、b=-30.,数学实际应用问题中的,三种类型及其解法,五、板书设计,课题： 一、复习 (二)例与练 解应用问题的一般 例1 练习：1 思路和方法 2 3 二、新课 例2 (一) 应用问题中的 三、小结 三种类型、理论依 据和解题思路 例3 四、作业,数学实际应用问题中的,三种类型及其解法,应用问题中的三种类型和解题思路 类型()：有关“利润最大、产值最高、造价最低”等问题. 处理方法：主要是函数与方程的思想方法及函数与不等式的思想方法. 类型()：有关“利率、增长率及翻番”等问题. 处理方法：主要是构造指数式方程或指数式不等式. 类型()：定义型问题，即给定事物发展变化过程中所遵从的某些特定关系. 处理方法：除遵从题中规定关系外应视具体问题选择类()或()的方法.,例1,例2,例3,数学实际应用问题中的,三种类型及其解法,若a0，b0，则 ,，当且仅当a=b时，“=”成立.,例3,即,定理：,数学实际应用问题中的,三种类型及其解法,又KV+(a/V)=,当且仅当,，即,即 KV+(a/V)有最小值 ，,此时，y有最小值 .,故机车以速度,成本最省.,千米/小时匀速运行时，,时，,例3,成本y=(a+KV2)t,=(a+KV2)(S/V),=SKV+(a/V).,分析：,应从构造有关成本的函数关系入手.,“=”成立，,数学实际应用问题中的,三种类型及其解法,
