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1、微分方程建模中的若干问题, 数模竞赛辅导札记,1. 微分方程建模中假设的 提出 与 修改 问题,“ 商品价格变化的两大特点 ” ： 平衡价格应是 商品供需平衡 的价位； 趋于过程应具有惯性特征：呈现 阻尼震荡 过程特征,建立在 市场经济 下 价格变动模型,具体问题：试图建立一个 数学模型，描绘在健全的市场 经济框架下，商品价格受市场机制调节，偏高或偏低 的价格将会 自动趋于平衡 。,建模目的：建立一个价格随时间演变, 以 阻尼振荡 方式 逐渐趋于理性的 商品供需平衡价格 的模型。,(3) 商品价格的变化速度 p ( t ) 与市场的 过剩需求 D ( t ) S ( t ) 有关. 假定它们之
2、间成 正比 :,(2) 商品供应 S ( t ) 随价格 p ( t ) 的增大而上升 . 假定它们之间的关系也近似为 线性关系 ;,建模假设：,(1) 商品需求 D ( t ) 随价格 p ( t ) 的增大而下降 . 假定它们之间的关系近似为 线性关系 :,模型建立：,模型分析：,当,时 ,当,时 ,结论未能达到建模目的！,说明商品价格是 单调 地趋向平衡价格.,建模假设的 修改 ：,(3)* 商品价格的变化速度 p ( t ) 与市场的 过剩需求 D ( t ) S ( t ) 对时间 t 的 累积量有关 ( 即考虑过剩 需求的时间滞后效应 ) .,(2) 商品供应 S ( t ) 随价
3、格 p ( t ) 的增大而上升 . 假定它们之间的关系也近似为 线性关系 ;,(1) 商品需求 D ( t ) 随价格 p ( t ) 的增大而下降 . 假定它们之间的关系近似为 线性关系 :,假定它们之间成 正比 :,模型再建立：,商品价格随时间演变而处在 等幅震荡 之中。,结论还未能达到建模目的！,建模假设的 再次修改 ：,假设 (1) 、(2) 不变 ；,(3)* 商品价格的变化速度 p( t ) 不仅与市场过剩需求 D ( t ) S ( t ) 对时间 t 的累积量有关 ,还与当时的价格与平衡价格 p* 的 偏差程度 有关 ( 即考虑健全的市场有政府宏观调控因素 ) ,假定它们之间
4、也成 正比 ， 且比例系数,仍假定它们之间 成 正比 ;,( 强调政府宏观调控只是微调 ) 。,模型又一 次建立：,商品价格随时间演变而呈现 阻尼震荡 现象 。,该结论达到建模目的！ 模型可采用,2. 微分方程模型在 模型分析 中的主要问题之一 稳定性分析,用微分方程方法建立的动态模型问题 模型分析 中的一个 重要问题是：当时间充分长后 ，动态过程的 变化趋势 是什么？,微分方程模型中 , 方程 ( 组 ) + 初始条件 解,初始条件的作用在于确定解, 它的微小变化会产生不同的 解，换言之，对解的发展性态变化 , 往往具有影响作用 .,问题是这种对解的发展性态的影响作用是 长期存在 的 , 还
5、是当时间充分大以后 , 影响作用会 “消逝 ” ?,（1）微分方程模型的稳定性及其实际意义,有时候 , 初始条件的微小变化会导致解的性态随时间变 大后 , 产生显著的差异 , 这时称 系统是不稳定 的 ;,有时候 , 初始条件变化导致解的性态差异会随时间变大 后而消失 , 这时称该 系统是稳定 的.,在实际问题中, 初始状态不能精确地而只能近似地确定, 所以稳定性问题的研究对于用微分方程方法建立的模型 具有十分重要的实际意义。,也就是说，在具有稳定性特征的微分方程模型中, 长远 来看, 最终发展结果与精确的初始状态究竟如何 , 两者 之间没有多大关系, 初始状态刻画得精确不精确是无关 紧要的。
6、,微分方程稳定性理论 可以使我们在很多情况下不求解 方程便可直接得到微分方程模型描绘的系统是 稳定 或 不稳定 的结论。,研究者对于微分方程稳定性理论的研究兴趣往往大于 该方程解有无解析表达式的研究兴趣。,在数学建模竞赛活动中，很多问题中涉及到的微分方 程是一类称为 自治系统 的方程 。,自治方程 是指方程中不显含自变量 t 的微分方程，例如,自治方程 中的解随时间不断变大如有稳定变化趋势， 则这个解的 最终趋势值 只能是该方程的 平衡点 。,的 平衡点 是指代数方程,的根 （可能不止一个根） ；,的 平衡点 是 指代数方程组,的解 （可能不止一组解）。,如果存在某个邻域，使微分方程的解 x
7、( t ) 从这个邻域 内的某个点 x ( 0 ) 出发， 满足 :,则称微分方程 的 平衡点 是 稳定 的；,如果存在某个邻域，使微分方程的解 x ( t ) ， y ( t ) 从这个邻域内的某个点 x ( 0 ) ， y ( 0 ) 出发， 满足 :,则称微分方程 的 平衡点 是 稳定 的。,上述 一阶自治方程 和 二阶自治方程组 解的 稳定性理论 结果可简介如下：,非线性方程 ( 一个方程 ) 情况,形式 : x( t ) = f ( x( t ) ),平衡点 : 解 f ( x ) = 0 , 得 x = x0 . 注意: 有时该方程的 根不止一个.,稳定意义 : 当 t 时, 如
8、x x0 , 则称 x0 是稳定的 平衡点; 否则称 x0 是不稳定平衡点.,由此 , 当 f ( x0 ) 0 时, x x0 ; 当 f ( x0 ) 0 时, x +.,(c) 一阶非线性问题的稳定性结论 : 根据有关数学理论 , 一阶非线性问题的稳定性在非临界情况下，与一阶 线性问题结论完全相同.,.,研究方法 : (a) 作 f ( x ) 的线性替代 ( 利用一元函数的泰勒展开式 ) : f ( x ) f ( x0 )( x - x0 ) + f ( x0 ) = f ( x0 )( x - x0 ) ;,(b) 线性问题研究: 求解 x = f ( x0 )( x x0 ) ,
9、 解得,非线性方程 ( 两个方程 ) 组情况,平衡点: 解 f (x , y) = 0 , 得 x = x 0 g ( x , y ) = 0 , y = y 0 .,y ( t ) = g ( x ( t ) , y ( t ) ),形式 : x ( t ) = f ( x ( t ) , y( t ) ) ,稳定意义 : 当 t + 时, 如 x x0 , y y0 , 则称 ( x0 , y0 ) 是稳定的平衡点 ; 否则称 ( x0 , y0 ) 是不稳定平衡点.,上面的方程组有时可能不止一组解.,研究方法 : 作 f ( x , y ) 与 g ( x , y ) 的线性替代（利用二
10、元函数 的泰勒展开式）:,f ( x , y ) fx( x0 , y0 )( x - x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y - y0 ) ; g ( x , y ) g x( x0 , y0 )( x - x0 ) + g y ( x0 , y0 )( y - y0 ).,(b) 线性问题研究: 记 a1= f x( x0, y0 ) , a2 = f y ( x0, y0 ) , b1 = g x ( x0, y0 ) , b2 = g y ( x0, y0 ) ,p = - ( a1 + b2 ) , q = a1 b2 - a2 b1 , 并无妨设 x0 = 0 , y0
11、 = 0 ;,求解,其中 1 , 2 为特征方程 r 2 + p r + q = 0 的两根 .,这里 1 +2 = - p , 1 2 = q,或写为,(1) 当 p 0 , q 0 时,如果 p2 4q 0，由 1 +2 = - p , 1 2 = q , 推得 1 与 2 均为负数 ，,故当 t + 时，e 1 t 与 e 2 t 均趋于零 ， 系统稳定 ;,如果 p2 4q 0，由 1 +2 = - p , k = i 中 为负数 （ k = 1 ，2 ） ，,故当 t + 时，ek t = et（ sint cost ） （ k = 1 ，2 ） 也均趋于零 ， 系统仍为稳定的 ；,
12、(2) 当 p 0 时,如果 p2 4q 0 ，由 1 +2 = - p , 可推出 1 与 2 中至少有一个为正数，,故当 t + 时，e1 t 与 e2 t 中至少有一个 趋于 + ，系统不稳定 ;,如果 p2 4q 0，仍由 1 +2 = - p , 可推出 k = i （ k = 1 ，2 ） 中 为正数 ，,故当 t + 时, ek t = et（ sint cost ） （ k = 1 ，2 ） 趋于 + ，仍可推出 系统不稳定 。,(3) 当 q 0 时 , 此时必定有 p2 4q 0 ，,此时 系统也必不稳定 。,由 1 2 = q , 可推出 1 与 2 中至少有一个为 正数
13、，,故当 t + 时，e1 t 与 e2 t 中至少有一个趋于 + ，,当 p 0 , q 0 时 , 相应的平衡点是稳定的；,当 p 0 或当 q 0 时 , 相应的平衡点是不稳定的。,综述之，在线性方程组非临界（p 0 ) 情况中,(C) 非线性问题的 稳定性结论 :,(i) 若相应的线性问题是 稳定 的 , 则对应非线性问题也 是 稳定 的 ；,(ii) 若相应的线性问题是 不稳定 的, 则对应非线性问题 也是 不稳定 的.,在非临界情况下 （p 0 ) ，,微分方程稳定性理论 的应用实例, 渔场防止捕捞过渡问题,建模目的：建立一个在有捕捞的情况下，渔场中鱼量 随时间变化的数学模型 ，藉
14、此研究鱼量数 随时间变化的发展趋势。,建模假设：,(1) 在无捕捞条件下，鱼量数 x ( t ) 的增长服从 Logistic 规律：,(2) 有捕捞时，单位时间的捕捞量 h 与渔场鱼量成正比：,模型建立与分析：,令,当 k r 时, f ( x1 ) = - r + k 0 , x2 为不稳定点 ；,当 k r 时, f ( x1 ) = - r + k 0 , x1 为不稳定点 ， f ( x2 ) = r k 0 , x2 为稳定点 .,捕捞问题的深化 二元方程组情况,建模假设：,(1) 在无捕捞条件下，鱼量数 x ( t ) 的增长服从 Logistic 规律：,(2) 有捕捞时，单位
15、时间的捕捞量 h 与渔场鱼量成正比：,(3) 捕捞时，捕捞率 k 与时间 t 有关 ， 其关于时间的增长率与捕鱼获得的净利润成正比：,(4) 鱼的销售单价与单位捕捞率的费用分别为常数 p 与 c ：,模型建立与分析：,令,故平衡点 ( 0 , 0 ) 是 不稳定 的 ；,当 p N c 时, p 2 0 , q 2 0 ; q 3 0 ;, ( x2 , k2 ) 是稳定的 ， ( x3 , k3 ) 是不稳定的 ；,当 p N c 时 , q 2 0 , q 3 0 ;, ( x 2 , k 2 ) 是不稳定的 ， ( x 3 , k 3 ) 是稳定的 ；,3. 偏微分方程 建模问题, 休渔期鱼群分布规律模型,建立实行休渔政策下近海鱼群分布情况的数学模型。,建模假设：(1) 海岸线近似为直线；鱼群只沿垂直于海岸 线方向向外游动；故问题的空间维数可取为一维；,海岸 0 外海 x,(2) 规定休渔区域在沿海 l 公里以内；休渔边界 x = l 外，鱼群将全部被外海渔船打尽；,(3) 任何地点 x 、任何时刻 t 的鱼群密度分布函数 u ( x , t ) 为可微函数；,(4) 初始时刻的鱼群密度分布函数 u ( x , 0 ) 为已知函数 u 0 ( x ) ；,(5) t 时刻 、x 处鱼群密度 u ( x, t ) 的增长速度为 已知函数
